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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 60

Um trenó está em repouso no alto de uma montanha e escorrega para baixo com aceleração constante. Em um dado instante está a 14,4   m de distância do topo;   2,0   s mais tarde ele está a 25,6   m de distância do topo; 2,0   s mais tarde está a 40,0   m de distância do topo e 2,0   s mais tarde está a 57,6   m de distância do topo. a) Qual o módulo da velocidade média do trenó durante cada um dos intervalos de   2,0   s depois de passar pelo ponto a 14,4   m de distância do topo? b) Qual a aceleração do trenó? c) Qual a velocidade escalar do trenó quando ele passa pelo ponto a 14,4   m de distância do topo? d) Quanto tempo ele leva para ir do topo até o

ponto a 14,4   m de distância do topo? e) Qual a distância percorrida pelo trenó durante o primeiro segundo depois de passar pelo ponto a 14,4   m de distância do topo?

Passo 1

Nós vamos aplicar as equações de aceleração constantes ao movimento do trenó. E calcular a velocidade média por um tempo ∆ t .

Sabemos que a velocidade média é dada por:

v e l o c i d a d e m é d i a = ∆ x ∆ t

Seja a posição + x   p o s i t i v a , e paralela a inclinação e direcionado para baixo.

O enuncioado não nos diz quanto tempo o trenó leva para chegar ao topo, com 14,4 m .

Passo 2

  1. Temos que o trenó vai de 14,4 m a 25,6 m . E que t = 2 s . Então:

    2. ∆ x = 25,6 m - 14,4 m = 11,2 m

    Assim a velocidade média:

    v m é d i a = 11,2 m 2 s = 5,60 m / s

    E de 25,6 m a 40 m . E que t = 2 s :

    v m é d i a = ∆ x 2 s = 40 m - 25,6 m 2 s = 7,20 m / s

    E de 40 m a 57,6 m . E que t = 2 s :

    v m é d i a = ∆ x 2 s = 57,6 m - 40 m 2 s = 8,80 m / s

    Passo 3

  2. Para cada trecho nós sabemos a posição, x , e o tempo, t , mas não sabemos a velocidade, v , ou a velocidade inicial, v 0 .

    3. Vamos tomar as posições: x 1 = 14,4 m x 2 = 25,6 m

    E podemos calcular para esse intervalo a seguinte relação:

    v 1 + v 2 2 = x 2 - x 1 t

    E

    a t = v 2 - v 1

    Resolvendo em relação a v 2 :

    v 2 = - a t 2 + x 2 - x 1 t

    Passo 4

    Agora tomando as posições de x 2 e x 3 : x 2 = 25,6 m x 3 = 40 m

    E podemos calcular para esse intervalo a seguinte relação:

    v 2 + v 3 2 = x 3 - x 2 t

    E

    a t = v 3 - v 2

    Resolvendo em relação a v 2 :

    v 2 = - a t 2 + x 3 - x 2 t

    Passo 5

    Configurando essas duas expressões de v 2 igualando-as e resolvendo entre si, temos que:

    - a t 2 + x 2 - x 1 t = - a t 2 + x 3 - x 2 t

    ⇒     a = 1 t 2 x 3 - x 2 - x 2 - x 1

    a = 1 2 s 2 40 m - 25,6 m - 25,6 m - 14,4 m = 0,80 m / s 2

    Passo 6

  3. Para os momentos x = 25,6 m x 0 = 14,4 m

    4. Temos que ∆ S = x 0 - x = 11,2 m a = 0,80 m / s 2 t = 2 s

    Assim, calculamos a velocidade inicial por:

    ∆ S = v 0 ⋅ t + a t 2 2

    ⇒ v 0 = ∆ S t - a t 2

    v 0 = 11,2 m 2 s - 0,80 m s 2 ⋅ 2 s 2 = 4,80 m / s

    Passo 7

  4. Para os momentos: x = 0 m x 0 = 14,4 m

    5. Temos que: ∆ S = x 0 - x = 14,4 m v   = 4 , 8 m / s 2 v 0 = 0

    Assim, calculamos o tempo, t por:

    ∆ S = v 0 - v 2 t  

    ⇒ t = 2 ∆ S v 0 + v = 2 ⋅ 14,4 m 4,8 m / s = 6 s

    Passo 8

  5. Para o intervalo de tempo, t = 1 s : v 0 = 4,8 m / s a = 0,80 m / s 2

Calculamos a distancia percorrida pelo trenó por:

∆ S = v 0 ⋅ t + a t 2 2

∆ S = 4,8 m / s ⋅ 1 s + 0,80 m s 2 ⋅ 1 s 2 2 = 5,2 m

Resposta

  1. 5,60 m / s , 7,20 m / s e 8,80 m / s
  2. 0,80 m / s 2
  3. 4,80 m / s
  4. t = 6 s
  5. ∆ S = 5,2 m
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