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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 74

A velocidade de um objeto é dada por v x t = α - β t 2 , onde α = 4,0   m / s   e β = 2,0   m / s 3 . Para t = 0 , o objeto está em x = 0 . a) Calcule a posição e a aceleração do objeto em função do tempo. b) Qual a distância positiva máxima entre o objeto e a origem?

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a situação precisamos calcular a posição e a aceleração do objeto em relação ao tempo, tendo em mão a sua equação da velocidade. Vamos utilizar da relação entre velocidade e espaço e velocidade e aceleração para encontrarmos nossos resultados.

A aceleração não é constante, portante, as equações de aceleração constante não podem ser utilizadas. Então vamos usar:

a x t = d v x d t

E

x = x 0 + ∫ 0 t v x t d t

Vamos relembrar como calcular uma integral com potencia:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Passo 2

  1. Então, temos que:

    2. x t = x 0 + ∫ 0 t α - β t 2 d t  

    = x 0 + α t - 1 3 β t 3

    x = 0   , t = 0 , x 0 = 0 e então:

    x t = α t - β t 3 3

    = 4 m / s ⋅ t - 0,667 m / s 3 ⋅ t 3

    Para encontrarmos a aceleração, derivamos a equação da posição em função do tempo:

    a x t = d α t - β t 3 3 d t

    = - 2 β t = - 4 m / s 3 ⋅ t

    Passo 3

  2. O ponto máximo positivo de x é quando:

v x = 0

Pois o ponto máximo de uma função ocorre quando sua derivada é igualada a zero.

E

a x < 0   ( n e g a t i v a )

Se v x = 0

Então:

α - β t 2 = 0

⇒ t = α β = 4 m / s 2 m / s 3 = 1,41 s

Assim, podemos calcular a distancia máxima:

x t = α t - β t 3 3 = 4 m / s ⋅ t - 0,667 m / s 3 ⋅ t 3

x = 4 m / s ⋅ 1,41 s - 0,667 m / s 3 ⋅ 1,41 s 3 = 3,77 m

Resposta

  1. x t = 4 m / s ⋅ t - 0,667 m / s 3 ⋅ t 3

    2. a x t = - 4 m / s 3 ⋅ t

  2. x = 3,77 m
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