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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 40

Três bastões com 10 cm de comprimento cada formam um triângulo equilátero sobre um plano. Dois deles estão carregados com + 10   n C , e o terceiro, com - 10   n C . Qual é a intensidade do campo elétrico no centro do triângulo?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Primeiro temos que saber o campo elétrico em um fio bastão, vamos lá?!

Vemos que as componentes em y se cancelam, sobrando somente em x, de forma que:

E b a s t ã o = E i x cos ⁡ θ

Sabemos que o campo elétrico é dado por:

d E = 1 4 π ϵ 0   d Q r 2  

Assim:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d Q r 2 cos ⁡ θ

Pela imagem, vemos que:

cos ⁡ θ = d R

E que:

R = y 2 + d 2

Assim:

cos ⁡ θ = d y 2 + d 2

E ficando:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d Q y 2 + d 2 d y 2 + d 2  

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d   d Q y 2 + d 2 3 2  

E sabemos que a densidade linear de carga é:

λ = Q L

Logo:

Q = λ L → d Q = λ d L

Vemos na imagem que d L = d y

Assim ficamos com:

d E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0   d * λ   d y y 2 + d 2 3 2  

Integrando sabendo que - L 2 ≤ y ≤ + L 2  

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y y 2 + d 2 3 2

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y d 2 y d 2 + 1 3 2

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ - L 2 L 2 d y d 3 y d 2 + 1 3 2

Façamos:

y d = tan ⁡ θ

Logo:

d y = d  sec 2 ⁡ θ   d θ

E quando:

y = L 2 → θ = tan - 1 ⁡ L 2 d

E:

y = - L 2 → θ = tan - 1 ⁡ - L 2 d

Assim ficando:

E b a s t ã o = λ d 4 π ϵ 0 ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d d  sec 2 ⁡ θ   d θ d 3 tan 2 ⁡ θ + 1 3 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d   sec 2 ⁡ θ   d θ tan 2 ⁡ θ + 1 3 2

Sabemos que:

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d   sec 2 ⁡ θ   d θ sec 3 ⁡ θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d ∫ tan - 1 ⁡ - L 2 d tan - 1 ⁡ L 2 d cos ⁡ θ   d θ

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d s e n   θ - L 2 d l 2 d

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d 2 L L 2 + 4 d 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d 2 L 2 L 2 2 + d 2

E b a s t ã o = λ 4 π ϵ 0 1 d L L 2 2 + d 2

Sabemos que:

λ = Q L

∴ E b a s t ã o = 1 4 π ϵ 0 1 d Q L 2 2 + d 2

Passo 2

Diz que os três bastões formam um triângulo equilátero, assim:

Veja que a intensidade que o campo elétrico de cada bastão exerce no ponto é igual,

Veja também que:

tan ⁡ 30 ° = 2 d L → d = L 2 tan ⁡ 30 °

Aplicando valores:

d = 10 × 10 - 2   m 2 3 3 = 0.02887 m

De forma que:

E = 9 × 10 9   N m 2 C 2 10 × 10 - 9   C 0.02887 m 0.02887 m 2 + 10 × 10 - 2   m 2 2 = 54.000 N C

Passo 3

E o campo elétrico total no ponto é a superposição destes 3 bastões, ou seja:

E t o t a l = E 1 + E 2 + E 3

Agora:

E t o t a l → = E 1 → + E 2 → + E 3 →

Veja que:

Logo:

E 1 → = E 1 - j v e r s o r

E 2 → = E 2 - cos ⁡ 30 °   i v e r s o r - sin ⁡ 30 °   j v e r s o r

E 3 → = E 3 cos ⁡ 30 °   i v e r s o r - sin ⁡ 30 °   j v e r s o r

Assim:

E t o t a l → = 54.000 N C   - 2   sin  ⁡ 30 °   j v e r s o r - 54.000 N C   j v e r s o r

Concluímos que:

E t o t a l → = - 1.08   × 10 5   j v e r s o r   N C  

Portanto a intensidade do campo elétrico no centro é 1.08 × 10 5   N C

Resposta

E = 1.08 × 10 5 N C

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