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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas Desafiadores - Ex. 92

Na troposfera, a parte superior da atmosfera compreendia entre a superficie terrestre e uma altitude de 11 km, a temperatura não é uniforme, mas diminui com o aumento da altitude. a) Mostre que, se a variação de temperatura for aproximada pela expressão linear

T = T 0 - α y

onde T 0 é a temperatura da superfície da Terra e T é a temperatura a uma altitude y , a pressão P a uma altitude y é dada por

ln ⁡ P P 0 = M g R α ln ⁡ T 0 - α y T 0

onde P 0 é a pressão na superfície terrestre e M é a massa molar do ar. O coeficiente α é chamado de taxa de diminuição da temperatura. Essa taxa varia com as condições atmosféricas, mas um valor médio para ela seria aproximadamente 0,6K/100 m. b) Mostre que o resultado anterior se reduz ao obtido no Exemplo 18.4 (Seção 18.1) no limite quando α → 0 . c) Supondo α = 0,6 ° C / 100 m , calcule P para y = 8863 m e compare suas resposta com o resultado do Exemplo 18.4. Considere T 0 = 288   K e P 0 = 1,0   a t m .

Passo 1

E aí galera, bom, aqui vamos seguir o procedimento do Exemplo 18.4, mas usaremos:

T = T 0 - α y

Temos que: ln ⁡ 1 + x ≈ x   quando x é muito pequeno.

Passo 2

  1. Então, fazendo:

    2. d p d y = - p M R T

    Que neste caso se torna:

    d p p = - M g R d y T 0 - α y .  

    Isso se integra a

    ln ⁡ p p 0 = M g R α ln ⁡ 1 - α y T 0  

    Ou

    p = p 0 1 - α y T 0 M g / R α

    Passo 3

  2. Para peças suficientemente pequenas α ,

    3. ln ⁡ 1 - α y T 0 ≈ α y T 0

    e isso fornece a expressão derivada no Exemplo 18.4.

    Passo 4

  3. Agora, supondo que α = 0,6 ° C / 100 m , calcularemos P para y = 8863 m e então compararemos as resposta com o resultado do Exemplo 18.4. Lembrando que agora, consideraremos T 0 = 288   K e P 0 = 1,0   a t m :

( 1 - 0,6 × 10 - 2 ° C m 8863 m 288 K = 0,8154

M g R α = ( 28,8 × 10 - 3 ) ( 9,80 m / s 2 ) ( 8 , 345 J / m o l ⋅ K ) ( 0,6 × 10 - 2 ° C / m ) = 5,6576

E

p 0 = 0,8154 5,6576 = 0,315   a t m

que é 0,95 do resultado encontrado no Exemplo 18.4.

Passo 3

A pressão é calculada para diminuir mais rapidamente com a altitude quando assumimos que T também diminui com a altitude.

Resposta

  1. p = p 0 1 - α y T 0 M g / R α
  2. ln ⁡ 1 - α y T 0 ≈ α y T 0
  3. 0,95 do resultado encontrado no Exemplo 18.4
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