Um tubo cilíndrico condutor muito longo (cilindro oco) possui raio interno a e raio externo b . Ele possui carga por unidade de comprimento igual a + α , em que α é uma constante positiva com unidades de C / m . Um fio carregado está sobre o eixo do tubo. O fio possui uma carga por unidade de comprimento igual a + α . a Determine o campo elétrico em função de α e da distância r ao eixo do tubo para i   r < a ; i i   a < r < b ; i i i   r > b . Mostre seus resultados em um gráfico de E em função da distância r . b Qual é a carga por unidade de comprimento sobre i a superfície interna do tubo; i i a superfície externa do tubo?

Passo 1

Supondo uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l com o mesmo eixo que o tubo e o fio, temos que o seu campo elétrico será dado através da carga por unidade de comprimento que está em seu interior por causa do cilindro interno. Então, usando a equação do campo elétrico para uma linha infinita, teremos:

E = λ 2 π r ϵ 0

Passo 2

Agora, consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio r < a , ela irá envolver apenas o fio carregado e terá a mesma densidade linear que o fio. Logo, o campo elétrico dessa superfície será:

E = α 2 π r ϵ 0

Para uma superfície gaussiana que esteja na região dentro do tubo cilíndrico, lembramos que o campo elétrico no interior de um condutor carregado é nulo. Então, o campo para a < r < b é igual a zero.

O último caso considera uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r > b que envolver tanto o fio carregado quanto o tubo. Dessa forma, ele irá possuir uma carga por unidade de comprimento que é o resultado da soma das cargas dos dois corpos. Logo, seu campo elétrico é:

E = 2 α 2 π r ϵ 0 = E = α π r ϵ 0

Passo 3

O gráfico que mostra esses resultados está mostrado a seguir:

Passo 4

Para calcular a carga por unidade de comprimento da superfície interna do tubo, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica que se encontre nessa região, ou seja, tenha raio r tal que a < r < b .

Essa superfície contém em seu exterior a densidade linear do fio λ = + α e, como o seu campo elétrico é nulo, a densidade no seu interior deve ter mesma intensidade e sinal oposto ( λ = - α ) a fim de anular o campo elétrico na superfície.

Já para a superfície externa do tubo, usando uma superfície gaussiana cilíndrica com r > b que envolve tanto o tubo quanto o fio, então ela envolve a densidade linear do tubo e do fio. Logo, ela possui carga por unidade de comprimento λ = + 2 α

Resposta

a   i   α 2 π r ϵ 0

i i   0

i i i   α π r ϵ 0

b   i - α

i i   + 2 α

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