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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 27

Usando análise dimensional, determine as unidades e as dimensões da constante b na força resistiva b v n se (a) n   =   1 e (b) n   =   2 . (c) Newton mostrou que a resistência do ar sobre um corpo de seção reta circular que cai deve ser aproximadamente 1 2 p π r 2 v 2 , onde p   =   1,20   k g / m 3 é a massa especifica do ar. Mostre que isto é consistente com sua análise dimensional da Parte (b). (d) Encontre a rapidez terminal para um paraquedista de 56.0   k g ; aproxime sua área de seção reta para a de um disco de 0,30   m de raio. A massa específica do ar próximo à superfície da Terra é 120   k g / m 3   . (e) A massa específica da atmosfera diminui com a altura em relação à superfície da Terra; a uma altura de 8.0 km, a massa específica é apenas d e   0,514   k g / m 3   . Qual é a rapidez terminal a esta altura?

Passo 1

Podemos usar as dimensões de força e velocidade para determinar as dimensões da constante b e as dimensões de p , r , e v para mostrar que, para n   =   2 , a expressão de Newton é consistente dimensionalmente com o nosso resultado de parte (b). Nas partes (d) e (e), podemos aplicar a segunda lei de Newton em velocidade terminal condições para encontrar a velocidade terminal do paraquedista perto da superfície da Terra e a uma altura de 8   k m . Suponha que g   =   9,81   m / s 2 permaneça constante. (Nota: a 8 km, g   =   9 , 78   m / s 2 . No entanto, isso não afetará o resultado da Parte (e).)

Passo 2

Item (a)

Resolvendo para n = 1 :

b = f a r a s t o v

Substituindo as dimensões de f a r r a s t o , v e simplificando:

b = M L T 2 L T = M T

Sendo M dimensão de massa, L dimensão de comprimento e T dimensão de tempo. Então, no SI, a unidade de b é k g / s .

Passo 3

Item (b)

Resolvendo para n = 2 :

b = f a r a s t o v 2

Substituindo as dimensões de f a r r a s t o , v e simplificando:

b = M L T 2 L T 2 = M L

Então, no SI, a unidade de b é k g / m .

Passo 4

Item (c)

Fazendo a análise dimensional de acordo com Newton:

f a r r a s t o = 1 2 p π r 2 v 2 = M L 3 L 2 L T 2 = M L T 2

De acordo com a parte (b):

f a r r a s t o = b v 2 = M L L T 2 = M L T 2  

Portanto, a expressão de Newton está de acordo com a expressão do item (b).

Passo 5

Item (d)

Fazendo a soma das forças no eixo y:

∑ F y = m a y ⇒ m g - 1 2 p π r 2 v 2 = 0 ⇒ v = 2 m g p π r 2

Então, substituindo os valores numéricos:

v = 2 56   k g 9,81 m s 2 π 1,2 k g m 3 0,30   m 2 = 57   m / s

Passo 6

Item (e)

Para esse item devemos apenas mudar a massa específica do ar da fórmula encontrada no item anterior:

v = 2 m g p π r 2 ⇒ v =   2 56   k g 9,81 m s 2 π 0,514   k g m 3 0,30   m 2 = 87   m / s

Resposta

a   b = M T

b   b = M L

d   v = 57   m / s

e   v = 87   m / s

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