Um pequeno bloco de massa igual a m 1 está sobre um pistão que vibra verticalmente, em movimento harmônico simples descrito pela fórmula y = A sen ⁡ ω t . (a) Mostre que o bloco abandonará o pistão se ω 2 A > g . (b) Se ω 2 = 3 g e A = 15   c m , em que momento o bloco abandonára o pistão?

Passo 1

(a) No instante em que o bloco e o pistão atingem a altura máxima do movimento, eles ficam parados por um instante antes de retornar no sentido oposto, certo?

Nesse instante, a aceleração do oscilador é máxima e aponta para baixo, é dada por:

a m á x = A ω 2

Mas essa aceleração está associada apenas ao pistão. Durante a descida, o bloco sobre o pistão acelera apenas com g .

Portanto, se a m á x = A ω 2 > g , então o pistão e o bloco vão se separar, porque o pistão vai acelerar para baixo mais rapidamente, com ambos partindo do repouso.

Passo 2

(b) A aceleração do oscilador segue a seguinte fórmula:

a = d 2 d t 2 y ( t )

a = d 2 d t 2 ( A sen ⁡ ω t )

a = - A ω 2 sen ⁡ ω t

Substituindo ω 2 A = 3 g :

a = - 3 g sen ⁡ ω t

E como vimos no item anterior, a separação acontece quando a aceleração do oscilador está prestes a ultrapassar a aceleração – g (negativo porque aponta para baixo), então:

a = g

- 3 g sen ⁡ ω t = - g

sen ⁡ ω t = 1 3

ω t = arcsen ⁡ 1 3 = 0,3398

t = 0,3398 ω

E agora vamos usar a relação que foi dada no enunciado para encontrar ω :

ω 2 A = 3 g

ω = 3 g A

Então:

t = 0,3398 3 g A

Agora é só substituir os valores numéricos:

t = 0,3398 3 9,81 ( 0,15 ) = 0,024   s

Resposta

(a) Demonstração.

(b) O bloco abandonará o pistão em t = 0,024   s .

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