(a) Use o resultado do problema 45.38 para calcular a distância entre os átomos no equilíbrio para a molécula de . A massa de um átomo de cloro é igual a , e a massa de um átomo de hidrogênio é igual a . (b) Os valores de variam de nas transições rotacionais. Qual é o valor de para o nível superior da transição que deu origem a cada um dos comprimentos de onda mencionados no Problema 42.38? (c) Qual é a linha com o comprimento de onda mais longo no espectro rotacional do ? (d) Calcule os comprimentos na molécula de cloreto de deutério (DCI). Nessa molécula um átomo de hidrogênio do é substituído por um átomo de deutério, um isótopo do hidrogênio com massa igual a . Suponha que a distância entre os átomos no equilíbrio seja a mesma da molécula de .

(b) A energia rotacional de um nível é:

Então se a gente quiser descobrir qual foi a variação de energia quando fomos do nível para um nível , é só fazer essa conta aqui:

Substituindo na fórmula de cima:

Multiplicando esses parênteses, vamos acabar com uma expressão bem mais simples:

Beleza, essa aí é a variação de energia que ocorreu quando cada um dos comprimentos de onda mencionados lá no outro problema foi gerado!

Como a gente pode relacionar isso com o comprimento de onda? Bom, essa variação de energia tem que ser igual à energia do fóton gerado, então:

Igualando as duas:

Isolando :

Lembrando que , então:

Agora é só aplicar essa fórmula!

Vamos começar substituindo os valores das constantes:

E temos que calcular isso para os cinco comprimentos de onda que foram mencionados lá no exercício 45.3.

Quando :

Quando :

Quando :

Quando :

E finalmente, quando

Resolvido!

(c) O próximo problema é o seguinte: entre todos os comprimentos de onda, para todos os valores diferntes de , qual é o maior?

Vamos lembrar da relação entre a energia do fóton emitido e o comprimento de onda:

São inversamento proporcionais! Então quando maior o comprimento de onda, menor vai ser a variação de energia.

E a relação da variação de energia com o é:

Então, já que a gente esta procurando a menor energia, que dá o maior comprimento de onda, temos que escolher o menor .

No nosso vamos escolher , que nessa nossa expressão está representando a transição do até o :

E o comprimento de onda associado a essa energia é:

(d) Agora quermos calcular aqueles mesmos comprimentos de onda, mas para uma outra molécula, o .

O primeiro passo é encontrar a massa reduzida da molécula. Só vamos trocar o hidrogênio pelo duetério, o cloro continua onde estava:

E como vamos relacionar isso ao comprimento de onda? Vamos voltar na fórmula lá de cima:

Reorganizando um pouco:

A única coisa que muda aqui quando vamos do para o é o momento de inércia. Justamente por conta da massa reduzida! O momento de inércia é , então:

é só um nome que demos para esse monte de constantes! Então o comprimento de onda é diretamente proporcional à massa:

Isolando a constante nas duas expressões, vamos encontrar o seguinte:

E a gente tem tudo pra calcular essa razão do lado direito:

E finalmente:

Agora é só aplicar essa fórmula para os vários comprimentos de onda!

Quando :

Quando :

Quando :

Quando :

E finalmente, quando

Resolvido!