Verifique que

Pelo enunciado, . Nessa expressão se resume a dizer que dentre as duas taxas, a soma entre as duas é um resultado de .

Para deduzimos isso, precisamos somar as suas componentes perpendiculares. De resto, faremos apenas dedução algébrica. Vamos começar somando as duas expressões, em que:

Iremos tirar primeiro o MMC entre as duas expressões. Repare que as duas possuem um denominador comum, então como resultado teremos:

Nesse passo diante será feito uma dedução algébrica, podendo haver outros caminhos. O caminho escolhido aqui será abrir os arcos duplos, em que:

Além disso abriremos a expressão usando a relação trigonométrica:

ou podemos reescrevê-la:

Quando fazemos essas substituições, temos que a expressão inicial ficará:

Aqui abriremos outro arco duplo. Temos na expressão do passo anterior o arco duplo trigonométrico . Isso pode ser escrito da seguinte forma:

Substituindo, temos que a expressão resultante será:

Elevando ao quadrado e fazendo as multiplicações devidas (não esquecendo nenhum sinal) na expressão do passo anterior, teremos como resultado:

Simplificando com os termos semelhantes, teremos como resultado:

Pondo o sinal de na expressão acima, podemos reescrevê-la como:

Reparemos que o termo entre parênteses no termo anterior, pode ser identificado como:

Substituindo a expressão acima, temos como resultado:

A expressão entre parênteses no numerador é um arco duplo que pode ser reescrito como:

Quando substituímos na expressão inicial, temos que:

Como passo final, sabemos que:

Quando substituirmos essa expressão na do passo anterior teremos que:

Como o numerador é igual ao denominador teremos como resultado:

A outra parte do problema pede para deduzimos que . Para isso precisaremos das expressões para as componentes do plano de incidência. Somando os dois ficaremos com:

No início, vamos pôr as duas expressões com um denominador em comum. Para isso, vamos mexer na primeira expressão da esquerda para a direita. Vamos fazer da seguinte maneira:

Reescrevendo a expressão à fim de diminuir o número de frações, façamos a razão entre as duas frações do termo a direita da igualdade da expressão anterior. Assim:

Assim, na parte final teremos que:

Repare que aqui estamos com um denominador em comum.

De acordo com a expressão do passo anterior, podemos com facilidade aplicar o MMC. Assim teremos como resultado:

Aqui podemos abrir trigonometricamente a expressão:

Substituindo na expressão, ficaremos com:

Vamos agora abrir os dois arcos duplos, do lado direito:

Assim teremos como resultado:

Fazendo a distributiva, temos como resultado:

Podemos aqui abrir novamente, uma outra relação trigonométrica, que é a segunda expressão da esquerda para a direita. Assim:

Assim teremos como resultado:

Podemos aqui fazer a distributiva no segundo termo:

Podemos simplificar as duas primeiras expressões da esquerda para direita, assim teremos como resultado:

De novo, podemos abrir outra relação trigonométrica como foi feita nos passos anteriores, ficamos assim com:

Ao aplicarmos a distributiva teremos que:

De acordo com a distributiva, temos que:

Podemos aqui abrir o arco duplo . Assim, a expressão terá como resultado:

Elevando ao quadrado o primeiro termo da esquerda para a direita, temos então que:

Simplificando os termos da expressão anterior, temos que:

Sabemos que:

Assim, temos como resultado:

Fechando o arco duplo , temos que:

Assim, teremos como resultado:

Abrindo a relação trigonométrica na segunda expressão da esquerda para a direita, teremos que:

Fazendo a distributiva, temos que:

Simplificando os dois primeiros termos, temos que:

Como o termo de cima, é semelhante ao termo do denominador, assim temos como resultado: