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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 4

Demonstre a equação:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = ((1 - (v ^2)/(c ^2)) (1 - (V ^2)/(c ^2)))/((1 - (underset(_)(v) * underset(_)(V))/(c ^2)) ^2)

Passo 1

Da lei da composição das velocidades, temos que:

v ' _x = (v _x - V)/((1 - (v _x V)/(c ^2)))

v ' _y = (sqrt(1 - beta ^2) v _y)/((1 - (v _x V)/(c ^2)))

v ' _z = (sqrt(1 - beta ^2) v _z)/((1 - (v _x V)/(c ^2)))

Passo 2

O módulo da velocidade v ' é dado por:

v ' = sqrt(v '_x^2 + v ' _y^2 + v '_z^2)

v ' ^2 = v '_x^2 + v ' _y^2 + v '_z^2

Como sabemos as componentes da velocidade, podemos calcular v ' ^2 .

Passo 3

v ' ^2 será:

v ' ^2 = ((v _x - V) ^2)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) + ((sqrt(1 - beta ^2) v _y) ^2)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) + ((sqrt(1 - beta ^2) v _z) ^2)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2)

v ' ^2 = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [(v _x - V) ^2 + (sqrt(1 - beta ^2) v _y) ^2 + (sqrt(1 - beta ^2) v _z) ^2]

v ' ^2 = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [v _x^2 - 2 v _x V + V ^2 + (1 - beta ^2) v _y^2 + (1 - beta ^2) v _z^2]

v ' ^2 = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [v _x^2 - 2 v _x V + V ^2 + v _y^2 - beta ^2 v _y^2 + v _z^2 - beta ^2 v _z^2]

v ' ^2 = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [(v _x^2 + v _y^2 + v _z^2) - 2 v _x V + V ^2 - beta ^2 v _y^2 - beta ^2 v _z^2]

Passo 4

O termo v _x^2 + v _y^2 + v _z^2 pode ser escrito como sendo v ^2 :

v ' ^2 = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [v ^2 - 2 v _x V + V ^2 - beta ^2 v _y^2 - beta ^2 v _z^2]

v ' ^2 = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [v ^2 - 2 v _x V + V ^2 - beta ^2 (v _y^2 + v _z^2)]

Passo 5

Então:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = 1 - (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [v ^2 - 2 v _x V + V ^2 - beta ^2 (v _y^2 + v _z^2)]

Fazendo MMC:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) {c ^2 (1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2 - [v ^2 - 2 v _x V + V ^2 - beta ^2 (v _y^2 + v _z^2)]}

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) {c ^2 (1 - (2 v _x V)/(c ^2) + (v _x^2_ V ^2)/(c ^4)) - [v ^2 - 2 v _x V + V ^2 - beta ^2 (v _y^2 + v _z^2)]}

Simplificando o termo semelhante:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) {c ^2 (1 + (v _x^2_ V ^2)/(c ^4)) - [v ^2 + V ^2 - beta ^2 (v _y^2 + v _z^2)]}

Passo 6

Sabemos que v ^2 = v_x^2 + v _y^2 + v_z^2 , então:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) {c ^2 (1 + (v _x^2_ V ^2)/(c ^4)) - [v ^2 + V ^2 - beta ^2 (v ^2 - v _x^2)]}

Além disso, precisamos lembrar que beta = (V)/(c) , logo:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) {c ^2 (1 + (v _x^2_ V ^2)/(c ^4)) - [v ^2 + V ^2 - (V ^2)/(c ^2) (v ^2 - v _x^2)]}

Passo 7

Simplificando os termos semelhantes:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/(c ^2) (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) {c ^2 - [v ^2 + V ^2 - (V ^2)/(c ^2) v ^2]}

Pondo c ^2 em evidência:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [1 - (v ^2)/(c ^2) + (V ^2)/(c ^2) - (V ^2)/(c ^2) (v ^2)/(c ^2)]

Agora vamos por (V ^2)/(c ^2) em evidência:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) [1 - (v ^2)/(c ^2) + (V ^2)/(c ^2) (1 - (v ^2)/(c ^2))]

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = (1)/((1 - (v _x V)/(c ^2)) ^2) (1 - (V ^2)/(c ^2)) (1 - (v ^2)/(c ^2))

Podemos escrever como sendo:

1 - (v ' ^2)/(c ^2) = ((1 - (v ^2)/(c ^2)) (1 - (V ^2)/(c ^2)))/((1 - (underset(_)(v) * underset(_)(V))/(c ^2)) ^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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