12.55. Muitos satélites se movem em um círculo no plano equatorial da Terra. Eles estão a uma altura tal que sempre permanecem sobre um mesmo ponto da Terra. a) Ache a altura desses satélites acima da superfície terrestre. (Esse tipo de órbita é denominado geossíncrona.) b) Faça um diagrama para mostrar que um receptor a uma latitude norte superior a 81,3° N não pode receber sinais de rádio emitidos por esse tipo de satélite.

Passo 1

Opa, vamos resolver esse problema!

Aqui a gente tá falando sobre um satélite que se move formando um círculo no plano equatorial da Terra.

O problema também diz que a altura entre o satélite e a terra é sempre a mesma e o que queremos é calcular essa altura!

Depois disso a gente tem que fazer um diagrama para mostrar que um receptor a uma latitude norte superior a 81,3° N não pode receber sinais de rádio emitidos por esse tipo de satélite.

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Bom, se a órbita é circular, isso significa que a força gravitacional é igual a força centrípeta, ou seja

F g = F C

G M m r 2 = m v 2 r

A gente já tem uma equação para descobrir a distância, mas a gente ainda não sabe a velocidade.

Para calcular a velocidade em um movimento circular, basta a gente dividir o perímetro pelo período.

v = 2 π r T

O enunciado diz o período. Perceba que se ele permanece sempre acima de um ponto fixo na Terra, seu período é de um dia.

1   d → 86400   s

Logo

T = 86400   s

Agora a gente pode achar uma fórmula para a distância

G M m r 2 = m r 2 π r T 2

A gente pode cortar m r

G M r = 4 π 2 r 2 T 2

Agora a gente isola r

r 3 = G M T 2 4 π 2

Logo

r = G M T 2 4 π 2 3

Passo 3

Agora que temos a equação, é só substituir os valores

r = G M T 2 4 π 2 3

r = ( 6,6742 ⋅ 10 - 11 ) ( 5,97 ⋅ 10 24 ) 86400 2 4 π 2 3

Fazendo essa continha

r = 4,22 ⋅ 10 7   m

E acabou!

Mentira!!!!

Esse r que encontramos, é a distância do satélite até o centro da terra.Mas o que a questão pede é a distância do satélite até a superfície terrestre.

Por conta disso, temos que subtrair dessa distância o raio de terra R T

Por isso, a altura h do satélite acima da superfície terrestre será:

h = r - R T

h = 4,22 × 10 7 - 6,37 × 10 6

h = 3,58 × 10 7 m

Passo 4

Para responder o item (b) o único argumento que precisamos usar é a propagação em linha reta dos sinais, como a terra é um globo, em alguns lugares é impossível o sinal chegar.

Aquela parte de cima vai estar sempre inacessível, não importa a posição do satélite.

Resposta

  1. h = 3,58 × 10 7 m

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