12.56. Um módulo espacial de massa igual a 12500 kg está em uma órbita circular sobre a superfície do planeta. O período da órbita é 5800 s. Os astronautas no módulo medem o diâmetro do planeta e obtem . O módulo espacial pousa no polo norte do planeta. Qual é o peso de um astronauta de 85,6 kg ao descer à superfície do planeta?

Bom, se a órbita é circular, isso significa que a força gravitacional é igual a força centrípeta, ou seja

A gente já tem uma equação para descobrir a distância, mas a gente ainda não sabe a velocidade.

Para calcular a velocidade em um movimento circular, basta a gente dividir o perímetro pelo período.

O enunciado diz o período:

E a distância é o raio do planeta somado com a altura do satélite

Então a gente pode calcular a força gravitacional.

Então

Agora é só substituir os valores

Logo

Agora que a gente tem a força gravitacional, a gente tem que achar a aceleração da gravidade na superfície do planeta. Assim a gente chega no poso do astronauta.

Sendo o raio do planeta.E a gente sabe que:

E

A gente pode reescrever assim:

Sendo a distância da superfície até a nave.Vamos expandir:

Agora a gente pode dividir tudo por :

A gente pode colocar em evidência, e substituir por :

Agora é só substituir os valores. Lembrando que essa massa ainda é a massa da nave:

Fazendo essa conta:

Agora para calcular o peso do astronauta basta usar:

Prontinho!