12.56. Um módulo espacial de massa igual a 12500 kg está em uma órbita circular 5,75 ⋅ 10 5 sobre a superfície do planeta. O período da órbita é 5800 s. Os astronautas no módulo medem o diâmetro do planeta e obtem 9,60 ⋅ 10 6 . O módulo espacial pousa no polo norte do planeta. Qual é o peso de um astronauta de 85,6 kg ao descer à superfície do planeta?

Passo 1

Aqui a gente tem um módulo espacial que está orbitando em torno de um planeta. Pra você ter uma ideia, um módulo espacial tem essa carinha aqui:

O enunciado nos dá os dados:

m = 12500   k g  

D p l a n e t a = 9,60 ⋅ 10 6   m

T o r b i t a = 5800   s

m a s t r o n a l t a = 85,6   k g  

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Bom, se a órbita é circular, isso significa que a força gravitacional é igual a força centrípeta, ou seja

F g = F C

F g = m v 2 r

A gente já tem uma equação para descobrir a distância, mas a gente ainda não sabe a velocidade.

Para calcular a velocidade em um movimento circular, basta a gente dividir o perímetro pelo período.

v = 2 π r T

O enunciado diz o período:

T = 5800   s

E a distância é o raio do planeta somado com a altura do satélite

r = 9,6 ⋅ 10 6 2 + 5,75 ⋅ 10 5 = 5,38 ⋅ 10 6   m

Então a gente pode calcular a força gravitacional.

F g = m r 2 π r T 2

Então

F g = m r 2 π T 2

Agora é só substituir os valores

F g = 12500 ⋅ 5,38 ⋅ 10 6 ⋅ 2 π 5800 2

Logo

F g = 7,9 ⋅ 10 4   N

Passo 3

Agora que a gente tem a força gravitacional, a gente tem que achar a aceleração da gravidade na superfície do planeta. Assim a gente chega no poso do astronauta.

g = G M R 2

Sendo R o raio do planeta.E a gente sabe que:

F g = 7,9 ⋅ 10 4   N

E

G M m r 2 = F g

A gente pode reescrever assim:

G M m R + d 2 = F g

Sendo d a distância da superfície até a nave.Vamos expandir:

G M m = F g R + d 2  

G M m = F g R 2 + F g d 2 + 2 F g R d

Agora a gente pode dividir tudo por R 2 m :

G M R 2 = F g m + F g m R 2 + 2 F g d m R

A gente pode colocar F g m em evidência, e substituir G M R 2 por g :

g = F g m 1 + 1 R 2 + 2 d R

Agora é só substituir os valores. Lembrando que essa massa ainda é a massa da nave:

g = 7,9 ⋅ 10 4 12500 ⋅ 1 + 1 9,60 ⋅ 10 6 2 2 + 2 ⋅ 2,75 ⋅ 10 5 9,60 ⋅ 10 6 2

Fazendo essa conta:

g = 7,04 m s 2

Passo 4

Agora para calcular o peso do astronauta basta usar:

P = m g

P = 85,6 ⋅ 7,04 = 602,624   N

Prontinho!

Resposta

P = 602,624   N

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