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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 88

Você está escalando um penhasco quando de repente se vê envolto pela névoa. Para saber a altura em que está, você joga uma pedra do alto e 10,0   s depois ouve o som dela atingindo o solo, ao pé do rochedo. a) Desprezando-se a resistência do ar, a que altura está o penhasco, considerando que a velocidade do som é 330   m / s ? b) Suponha que você tenha ignorado o tempo que leva para o som chegar até você. Nesse caso, você teria superestimado ou subestimado a altura do penhasco? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos fazer um desenho para entender o que está acontecendo.

Primeiro, temos a queda livre da pedra, que parte do repouso e acelera de acordo a gravidade. Depois temos, o caminho do som que viaja em velocidade constante v = 330   m / s . (MUV)

Vamos tomar como:

t c a i n d o = o   m o m e n t o   d e   a   p e d r a   c a i r   n o   c h ã o .

E

t s o m = o   t e m p o   q u e   o   s o m   l e v a   p a r a   v i a j a r   a   p a r t i r   d o   p o n t o   d e   i m p a c t o   d e   v o l t a .

Sabemos que: t c a i n d o + t s o m = 10 s .

Tanto a pedra quanto o som percorrem uma distância de igual altura, do pé do penhasco até onde está a pessoa.

Vamos tomar como + y para baixo para o movimento da rocha. Vamos considerar a velocidade inicial da rocha é nula e a aceleração dela como a aceleração da gravidade. Nossos dados:

v 0 y = 0 a y = 9,8 m / s 2

Passo 2

  1. Para a rocha (MRUV), temos que:

    2. ∆ y = v 0 y t + a y t 2 2

    Δ y variação de altura

    v 0 y velocidade inicial

    t tempo

    a y aceleração

    Já que v 0 y = 0 e considerando a altura do penhasco como d :

    d = a y t 2 2

    Isolando o tempo que ela leva para cair:

    t c a i n d o = 2 d a y   = 2 d 9,81  

    Para o som, o tempo que ele leva passando pela altura d do penhasco até chegar na pessoa

    Δ y t = v

    t = Δ y v

    t s o m = d 330 m / s = d 330

    Passo 3

    Esses dois tempos somados precisam ser iguais a 10   s :

    2 d 9,81   + d 330 = 10

    Vamos tomar α 2 = d , só para facilitar a resolução dessa equação:

    2 α 2 9,81   + α 2 330 = 10

    α 2 9,81   + α 2 330 - 10 = 0

    0,00303 α 2 + 0,451 α - 10 = 0

    Fazendo: a = 0,00303 b = 0,451 c = - 10 podemos aplicar a formulinha de bhaskara para descobrirmos α :

    α = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

    = 0,451 ± ( 0,451 ) 2 - 4 ⋅ 0,00303 ⋅ ( - 10 ) 2 ⋅ 0,00303

    Como só nos interessa o termo positivo, temos que:

    α = 16,96

    Como α 2 = d :

    ⇒ d = 384 m

    Passo 4

  2. Se a gente desconsiderar a velocidade do som, d vai ser a distância percorrida pela pedra em todo o intervalo de tempo de 10   s . Aí usando a equação horária, a gente ia ter:

∆ y = v 0 y t + a y t 2 2

Já que v 0 y = 0 e considerando a altura do penhasco como d , aceleração da gravidade como a y e agora o tempo como 10 s :

d = a y t 2 2

d = 9,8 m / s 2 ⋅ ( 10 ) 2 2 = 490 m

Percebe que esse valor é maior que o valor achado na letra (a).

Nós teriamos então superestimado a altura do penhasco. Na verdade, a rocha leva menos tempo que 10 s para cair no chão.

Resposta

  1. 384 m
  2. Superestimado
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