Enunciado
Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 10.Exercícios e Problemas - Ex. 52
52. Você foi designado para projetar um “sistema balístico de mola” com a finalidade de medir a velocidade de balas. Uma mola de constante elástica é suspensa ao teto. Um bloco de massa é preso a ela. Então, uma bala de massa é disparada verticalmente contra ele, por baixo do mesmo. Mede-se, assim, a máxima compressão atingida pela mola.
Obtenha uma expressão para a velocidade da bala em função de e .
Qual é a velocidade de uma bala de se a massa do bloco for de e se a mola, com , for comprimida em ?
Passo 1
Então galera, nesse problema temos uma colisão inelástica, então a bala depois de colidir com o bloco permanece grudada nele e assim temos um objeto de massa .
Para encontrar o que o item pede vamos usar a conservação do momento considerando o momento inicial antes da colisão e o momento final logo depois da colisão.
E vamos usar a conservação de energia mecânica, onde a energia inicial é dada pelo instante logo depois da colisão e a energia final é dada pelo instante em que a mola tem a máxima compressão.
Como estamos na vertical quando o bloco é preso mola ele realiza um deslocamento que vamos chamar de da posição de equilíbrio da mola e depois que a bala atinge o bloco eles percorrem essa variação e depois mais um deslocamento da posição de equilíbrio .
Assim a compressão máxima da mola dada por .
O item é só pegar a expressão que encontramos em e substituir os valores que o enunciado nos deu e encontrar o valor de .
Passo 2
Começando com o item .
Então galera vamos começar fazendo a conservação do momento do nosso problema, temos o seguinte:
Como sabemos do enunciado a velocidade inicial do bloco é nula e temos que , assim temos:
Agora para continuarmos vamos para a conservação de energia nos instantes que falei no passo .
Passo 3
Vamos então conservar essa energia, temos:
Levando em consideração os instantes que estamos considerando temos que a velocidade inicial da energia cinética inicial é igual a velocidade final que encontramos no passo anterior.
E não podemos esquecer que agora temos a energia potencial gravitacional, além da elástica. Então:
A energia potencial inicial é negativa pois inicialmente o conjunto bala e bloco estão abaixo da posição de equilíbrio e a final é positiva pois o conjunto está acima da posição de equilíbrio.
Lembrando que a velocidade final , assim ficamos com:
Agora vamos com calma, podemos descobrir quem é pela segunda lei de Newton já que o bloco estava em equilíbrio com a mola antes da bala colidir com ele e temos que:
Então nossa expressão fica por enquanto da seguinte maneira:
Passo 4
Agora vamos encontrar a expressão para e depois substituir na nossa expressão principal e substituir também o que encontramos para no passo .
Temos o seguinte, o bloco e a mola estão em equilíbrio antes da colisão então pela segunda lei de Newton, temos:
Agora substituindo isso que encontramos e o que eu comentei acima nossa expressão principal fica da seguinte maneira:
Agora vamos isolar , temos:
Então temos que:
Nossa, essa expressão ficou bem grande!
Passo 5
Agora vamos em busca do item .
O que temos que fazer aqui é pegar a expressão do passo anterior substituir os valores dados pelo enunciado e calcular , temos então o seguinte:
Então temos que: