Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 89
Você tem um objeto de cada uma destas formas, todas com massa de 0,840 kg: um cilindro sólido uniforme, um cilindro oco com parede fina, uma esfera sólida uniforme e uma esfera oca com parede fina. Você solta cada objeto do repouso à mesma altura vertical h acima da base de uma longa rampa de madeira inclinada em 35,0° a partir da horizontal. Cada objeto rola sem deslizar descendo a rampa. Você mede o tempo t gasto para cada objeto alcançar a base da rampa; a Figura P10.89 mostra os resultados. (a) Pelos gráficos de barras, identifique os objetos de A até D pela forma. (b) Qual dos objetos de A até D tem a maior energia cinética total na base da rampa, ou todos os objetos têm a mesma energia cinética? (c) Qual dos objetos de A até D tem a maior energia cinética rotacional 1 2Iv2 na base da rampa, ou todos eles têm a mesma energia cinética rotacional? (d) Qual é o menor coeficiente de atrito estático exigido para todos os quatro objetos rolarem sem deslizar?
Passo 1
Vamos fazer mais uma questão!!
E aiii galera,
Letra a:
Podemos expressar o momento de inércia de um objeto redondo como, , onde c depende da forma e distribuição da massa. A conservação de energia nos dá , então:
Resolvendo para :
:
Este v é a velocidade na parte inferior da rampa. O objeto com a maior velocidade v também terá a maior velocidade média na rampa e, portanto, levará o menor tempo para chegar ao fundo. Portanto o objeto com o menor c terá o maior v. Para um cilindro sólido, para um cilindro oco, e da mesma forma, obtemos para uma esfera sólida e para uma esfera oca.
O menor valor de c é 2/5 para uma esfera sólida, de modo que esse objeto deve levar o menor tempo possível, o que o torna o objeto A.
O maior valor de c é l para um cilindro oco, de modo que o objeto leva mais tempo, o que o torna o objeto D.
A esfera oca tem um c maior do que o cilindro sólido, por isso leva mais tempo do que o cilindro sólido, então C deve ser a esfera oca e B o cilindro sólido.
Resumindo esses resultados, temos:
A: esfera sólida, c = 2/5
B: cilindro sólido, c = 1/2
C: esfera oca, c = 2/3
D: cilindro oco, c = 1
Passo 2
Letra b:
Todos os objetos partem do repouso na mesma altura inicial e rolam sem escorregar, de modo que todos têm a mesma energia cinética na parte inferior da rampa.
Passo 3
Letra c:
Usando
Temos
A partir deste resultado, vemos que o objeto com o maior c tem a maior energia cinética rotacional porque o denominador entre parênteses é o menor. Portanto, o cilindro vazio, com c = 1, tem a maior energia cinética rotacional.
Passo 4
Letra d:
Aplique a segunda lei de Newton. Perpendicular à superfície da rampa, obtemos para a força normal. Paralelo à superfície, com a descida da rampa positiva, obtemos .
Tomando torques sobre o centro do objeto rolante, temos , que nos dá .
Colocando isso na equação anterior resulta:
Que pode ser escrito como:
Queremos o coeficiente mínimo de atrito para evitar escorregões, então:
Colocando isso na equação anterior:
Queremos , de forma que nenhum dos objetos deslize, então devemos encontrar o máximo. Isso ocorrerá quando c tiver seu maior valor, pois isso tornará o denominador menor e é para o cilindro oco para o qual c = 1.
Isso nos dá:
Resposta
- Ver resolução
- Todos os objetos partem do repouso na mesma altura inicial e rolam sem escorregar, de modo que todos têm a mesma energia cinética na parte inferior da rampa.
- O cilindro vazio, com c = 1, tem a maior energia cinética rotacional.
- Cilindro oco para o qual c = 1.