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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 71

Como você verificou no exercício 15.35, uma onda estacionária descrita pela Equação (15.28) satisfaz a equação de onda, Equação (15.12).

a) Mostre que uma onda estacionária descrita pela Equação (15.28), também satisfaz a equação

∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 = - ω 2 y ( x , t )

Interprete essa equação em termos do que você sabe a respeito de um MHS.

b) Uma onda progressiva descrita por y x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t ) também satisfaz a equação do item (a)? Interprete esse resultado.

Passo 1

Pelo enunciado temos que a equação y x , t = A   s e n   k x   s e n   ( ω t ) satisfaz a equação de onda:

∂ 2 y x , t ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y x , t ∂ t 2

E isso foi verificado no exercício 15.35.

Passo 2

a) Agora queremos mostrar que a mesma equação y x , t = A   s e n   k x   s e n   ( ω t ) , também satisfaz a equação ∂ 2 y ( x , t ) ∂ t 2 = - ω 2 y ( x , t )

Para isso basta tomarmos a segunda derivada do tempo de y x , t .

Calculando a primeira derivada:

∂ y x , t ∂ t = A   s e n   k x cos ⁡ ω t ⋅ ω = A ω   s e n   k x cos ⁡ ω t

Calculando a segunda derivada:

∂ 2 y x , t ∂ t 2 = A ω   s e n   k x   - s e n ω t ⋅ ω

Ajeitando o resutado:

∂ 2 y x , t ∂ t 2 = - ω 2 A   s e n   k x   s e n   ω t = - ω 2 y x , t

Esse resultado descreve um movimento harmônico simples, o sinal negativo indica que as partículas do sistema (vamos supor um sistema massa mola) irão oscilar em torno de um ponto de equilíbrio, o que define um MHS.

Passo 3

b) Para descobrirmos se esta função também satisfaz a equação do item (a), basta calcular a segunda derivada do tempo de y x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t ) .

Calculando a primeira derivada:

∂ y x , t ∂ t = A   - s e n   k x - ω t ⋅ - ω = A ω   s e n k x - ω t

Calculando a segunda derivada:

∂ 2 y x , t ∂ t 2 = A ω   c o s   k x - ω t ⋅ - ω = - A ω 2   c o s k x - ω t

Ajeitando o resultado:

∂ 2 y x , t ∂ t 2 = - ω 2 y x , t

Desta forma podemos concluir que a função também satisfaz a equação do item (a) e ela também representa um movimento harmônico simples (MHS).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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