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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.Problemas Adicionais - Ex. 70

A Figura mostra a aceleração transversal do ponto x   =   0   de uma corda com função do tempo t , quando uma onda com a forma geral y x , t = y m s e n ( k x - ω t + ϕ ) passa pelo ponto. A escala do eixo vertical é definida por a s = 400   m / s ² . Qual é o valor de ϕ ?

Passo 1

Bora lembrar de algumas coisas importantes. A primeira delas é que a aceleração de um corpo executando um movimento harmônico, distanciado de seu ponto de equilíbrio a uma distância igual a y é dada por:

a y ( x , t ) = - ω 2 y = - ω 2 y m s e n ( k x - ω t + ϕ )

Analisando o ponto em que x = 0 (caso dessa questão), a gente tem:

a y x = 0 , t = - ω 2 y ( 0 , t ) = - ω 2 y m s e n ( - ω t + ϕ )

Passo 2

Além disso, em t = 0 , a gente observa que a derivada da aceleração com relação ao tempo é negativa (pois a inclinação do gráfico está pra baixo nesse instante):

d a y d t = ω 3 y m cos ⁡ - ω t + ϕ < 0

Então cos ⁡ - ω × 0 + ϕ = cos ⁡ ϕ < 0

Olha uma coisa importante que encontramos:   cos ⁡ ϕ < 0 . Isso nos mostra implicitamente que ϕ está no segundo ou no terceiro quadrantes.

Passo 3

Ok! Vamos continuar nossa análise. O gráfico mostra que em t = 0 a y = - 100   m / s ² . Além disso, a aceleração máxima a m a x é a maior alcançada pelo gráfico e é igual a a m a x = 400   m / s ² . Então, a gente consegue escrever a aceleração no ponto x = 0 da seguinte forma:

a y = - a m a x s e n ( - ω t + ϕ )

Em t = 0 :

a y a m a x = - 1 4 = - s e n ( ϕ )

Então:

ϕ = a r c s e n 1 4 ≅ 0,25 r a d ou 2,9   r a d

Qual a resposta correta?

É aquela que corresponde a um dos quadrantes que comentamos no passo 1. Isso acontece com ϕ = 2,9   r a d , que está no segundo quadrante.

Resposta

2,9   r a d

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