Enunciado

48. Prove que f ( v ) dada pela Equação ( 18.33 ) assume o valor máximo quando ϵ = k T . Use esse resultado para obter a Equação ( 18.34 ) .

Passo 1

Para provar que ϵ = k T faz com que f ( v ) assuma seu valor máximo, podemos derivar essa equação com relação a ϵ . Feito isso vamos substituir ϵ = k T e ver se a expressão que encontramos se iguala a zero.

E para obter a equação 18.34 , vamos lembrar que:

ϵ = 1 2 m v 2

E considerando o caso que ϵ = k T , assim:

1 2 m v 2 = k T

Passo 2

Vamos começar derivando a equação 18.33 com relação a ϵ , temos:

f v = 8 π m m 2 π k T 3 / 2 ϵ e - ϵ / k T

Então:

d f d ϵ = 8 π m m 2 π k T 3 / 2 d f d ϵ ( ϵ e - ϵ / k T )

= 8 π m m 2 π k T 3 / 2 e - ϵ / k T - ϵ k T e - ϵ / k T

Substituindo ϵ = k T , temos:

d f d ϵ = 8 π m m 2 π k T 3 / 2 e - k T / k T - k T k T e - k T / k T

8 π m m 2 π k T 3 2 e - e = 0

Então ϵ = k T faz o valor da função ser máximo.

Passo 3

Agora vamos encontrar a equação 18.34 , temos:

1 2 m v 2 = k T

Isolando v , temos:

v 2 = 2 k T m

⇒ v = 2 k T m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ao descrever o calor especifico de um solido na Seção 18.4. afirmamos que a energia potencial U = 1 2 k x 2 de um oscilador harmônico é igual à energia cinética K = 1 2 m v 2 , considerando valores mé
a)Para qual massa de molécula ou partícula a v q - m é d i a é é igual a 1,0mm/s a 300K? b) Se a partícula for um cristal de gelo, quantas moléculas ela contém? A massa molar da água é 18,0 g/mol. c)
a)A temperatura nas vizinhanças do topo da camada multicolorida da atmosfera da Júpter é igual a aproximadamente 140 K. A temperatura no topo da troposfera da Terra, a uma altitude aproximada de 20 km
No exemplo 18.7 (Seção 18.3), vimos que v q - m é d é era maior do que v m é d é . Não é difícil mostrar que isso sempre ocorre. (A única exceção acontece quando todas as partículas possuem a mesma ve
A área escura na Figura 18.30, aparentemente desprovida de estreas, denomina-se nebulosa escura, uma nuvem de gás frio no espaço interestelar que contém matéria suficiente para bloquear a luz provenie