48. Prove que f ( v ) dada pela Equação ( 18.33 ) assume o valor máximo quando ϵ = k T . Use esse resultado para obter a Equação ( 18.34 ) .

Passo 1

Para provar que ϵ = k T faz com que f ( v ) assuma seu valor máximo, podemos derivar essa equação com relação a ϵ . Feito isso vamos substituir ϵ = k T e ver se a expressão que encontramos se iguala a zero.

E para obter a equação 18.34 , vamos lembrar que:

ϵ = 1 2 m v 2

E considerando o caso que ϵ = k T , assim:

1 2 m v 2 = k T

Passo 2

Vamos começar derivando a equação 18.33 com relação a ϵ , temos:

f v = 8 π m m 2 π k T 3 / 2 ϵ e - ϵ / k T

Então:

d f d ϵ = 8 π m m 2 π k T 3 / 2 d f d ϵ ( ϵ e - ϵ / k T )

= 8 π m m 2 π k T 3 / 2 e - ϵ / k T - ϵ k T e - ϵ / k T

Substituindo ϵ = k T , temos:

d f d ϵ = 8 π m m 2 π k T 3 / 2 e - k T / k T - k T k T e - k T / k T

8 π m m 2 π k T 3 2 e - e = 0

Então ϵ = k T faz o valor da função ser máximo.

Passo 3

Agora vamos encontrar a equação 18.34 , temos:

1 2 m v 2 = k T

Isolando v , temos:

v 2 = 2 k T m

⇒ v = 2 k T m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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