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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 50

Um móbile é formado por quatro borboletas de metal de massa m sustentadas por uma corda de comprimento L . Os pontos de suporte são espaçados à mesma distância l , como mostrado na Figura P4.50. A corda forma um ângulo θ 1 com o teto em cada ponta. A seção central da corda é horizontal.

  1. Encontre a tensão em cada seção de corda em termos de θ 1 , m e g .
  2. Em termos de θ 1 , encontre o ângulo θ 2 que as seções de corda entre as borboletas de fora e as borboletas de dentro formam com a horizontal.
  3. Mostre que a distância D entre as extremidades da corda é

D = L 5 2 cos ⁡ θ 1 + 2 c o s ⁡ t g - 1 1 2 t g   θ 1 + 1

Passo 1

E aiii galera,

Vamos fazer mais uma questão?

Bora lá!

Abaixo, temos o esquema de forças:

Passo 2

Letra a:

No ponto A:

∑ F x = T 2 cos ⁡ θ 2 - T 1 cos ⁡ θ 1 = 0 T 2 cos ⁡ θ 2 = T 1 cos ⁡ θ 1         ( 1 ) ∑ F y = T 1 sin ⁡ θ 1 - m g - T 2 sin ⁡ θ 2 = 0 T 1 sin ⁡ θ 1 = m g + T 2 sin ⁡ θ 2         ( 2 )

No ponto B:

∑ F x = T 3 - T 2 cos ⁡ θ 2 = 0 T 3 = T 2 cos ⁡ θ 2         ( 3 ) ∑ F y = T 2 sin ⁡ θ 2 - m g = 0 T 2 sin ⁡ θ 2 = m g           ( 4 )

No ponto C:

∑ F x = T 4 cos ⁡ θ 2 - T 3 = 0 T 3 = T 4 cos ⁡ θ 2         ( 5 ) ∑ F y = T 4 sin ⁡ θ 2 - m g = 0 T 4 sin ⁡ θ 2 = m g           ( 6 )

No ponto D:

∑ F x = T 5 cos ⁡ θ 1 - T 4 cos ⁡ θ 2 = 0 T 5 cos ⁡ θ 1 = T 4 cos ⁡ θ 2       ( 7 )

∑ F y = T 5 sin ⁡ θ 1 - m g - T 4 sin ⁡ θ 2 = 0 T 5 sin ⁡ θ 1 = m g + T 4 sin ⁡ θ 2   ( 8 )

Passo 3

Comparando (4) com (6), então T 2 = T 4 . E vemos que T 5 = T 1 .

Então,

T 3 = T 1 cos ⁡ θ 1

T 1 sin ⁡ θ 1 = m g + m g T 1 sin ⁡ θ 1 = 2 m g

2 m g T 3 = t a n ⁡ θ 1 T 3 = 2 m g tan ⁡ θ 1

2 m g tan ⁡ θ 1 = T 1 cos ⁡ θ 1 T 1 = 2 m g sin ⁡ θ 1

Passo 4

Como,

tan ⁡ θ 2 = m g T 1 cos ⁡ θ 1

Substituindo T 1 em (12):

tan ⁡ θ 2 = m g 2 m g sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 = tan ⁡ θ 1 2 θ 2 = tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1

Substituindo θ 2 em (4):

T 2 sin ⁡ tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1 = m g

T 2 = m g sin ⁡ tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1

Passo 5

Letra b:

tan ⁡ θ 2 = m g 2 m g sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 = tan ⁡ θ 1 2 θ 2 = tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1

Passo 6

Letra c:

Podemos ver, do diagrama, que D iguala os componentes x de todos os segmentos da corda e sabemos que L = 5 l , então nós temos:

D = l c o s ⁡ θ 1 + l c o s ⁡ θ 2 + l + l c o s ⁡ θ 2 + l c o s ⁡ θ 1 = 2 l c o s ⁡ θ 1 + 2 l c o s ⁡ θ 2 + t = l 2 l c o s ⁡ θ 1 + 2 l c o s ⁡ θ 2

D = L 5 2 l cos ⁡ θ 1 + 2 l cos ⁡ tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1

Resposta

  1. T 1 = 2 m g sin ⁡ θ 1 , T 2 = m g sin ⁡ tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1 , T 3 = 2 m g tan ⁡ θ 1
  2. θ 2 = tan - 1 ⁡ 0.5 tan ⁡ θ 1
  3. Ver resolução
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