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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 56

Uma partícula com carga elétrica q move-se ao longo de uma linha reta num campo elétrico uniforme E → à velocidade u . A força elétrica exercida sobre a carga é q E → . A velocidade da partícula e o campo elétrico estão ambos na direção x . (a) Mostre que a aceleração da partícula na direção x é dada por a = d u d t = q E m 1 - u 2 c 2 3 2 . (b) Discuta o significado da dependência da aceleração em relação à velocidade. (c) E se? Se a partícula começa do repouso em x   =   0 a t   =   0 , como você procederia para encontrar a velocidade da partícula e sua posição no tempo t ?

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

Em qualquer velocidade, o momento da partícula é dado por:

p = γ m u = m u 1 - ( u / c ) 2

Com a lei de Newton expressa como F = q E = d p d t , temos:

q E = d d t m u 1 - u 2 c 2 - 1 2 q E = m 1 - u 2 c 2 - 1 2 d u d t + 1 2 m u 1 - u 2 c 2 - 3 2 2 u c 2 d u d t

Então,

q E m = d u d t 1 - u 2 c 2 + u 2 c 2 1 - u 2 c 2 3 2

a = d u d t = q E m 1 - u 2 c 2 3 2

Passo 2

Letra b:

Para u pequeno em comparação com c, a expressão relativística se reduz ao clássico a = q E m . Conforme u se aproxima de c, a aceleração aproxima-se de zero, de modo que o objeto nunca pode atingir a velocidade da luz.

Passo 3

Letra c:

Podemos usar o resultado de (a) para encontrar a velocidade u no tempo t:

a = d u d t = q E m 1 - u 2 c 2 3 2

∫ 0 u   d u 1 - u 2 c 2 3 2 = ∫ 0 t   q E m d t

u 1 - u 2 c 2 1 2 = q E t m u 2 = q E t m 2 1 - u 2 c 2

u = q E c t m 2 c 2 + q 2 E 2 t 2

Agora, podemos usar este resultado para encontrar a posição x no tempo t:

d x d t = u = q E c t m 2 c 2 + q 2 E 2 t 2

x = ∫ 0 t   u d t = q E c ∫ 0 t   t d t m 2 c 2 + q 2 E 2 t 2 = c q E m 2 c 2 + q 2 E 2 t 2 0 t

x = c q E m 2 c 2 + q 2 E 2 t 2 - m c

Resposta

  1. a = d u d t = q E m 1 - u 2 c 2 3 2
  2. Para u pequeno em comparação com c, a expressão relativística se reduz ao clássico a = q E m . Conforme u se aproxima de c, a aceleração aproxima-se de zero, de modo que o objeto nunca pode atingir a velocidade da luz.
  3. x = c q E m 2 c 2 + q 2 E 2 t 2 - m c
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