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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Exercícios - Ex. 27

27. a ) Uma partícula com massa m se move ao longo de uma linha reta sob a ação de uma força F dirigida ao longo da mesma linha reta. Calcule a derivada da Equação ( 37.29 ) para mostrar que a aceleração a = d v / d t da partícula é dada por a = F / m 1 - v 2 / c 2 3 / 2 . b ) Calcule a derivada da Equação ( 37.29 ) para encontrar uma expressão para o módulo da aceleração F ,   m e v / c quando a força for perpendicular à velocidade.

Passo 1

Então galera, aqui não tem muito mistério, só temos que derivara a equação 37.29 e mostrar o que é pedido em ( a ) e ( b ) .

F → = d d t m v → 1 - v 2 / c 2

A diferença entre os dois itens é que em ( b ) a força está perpendicular a velocidade então ela não causa mudança no módulo da velocidade que está no denominador durante o tempo, mas muda o vetor v → , pois muda sua direção.

Passo 2

Vamos começar com a situação do item ( a ) , a equação 37.29 é dada por:

F → = d d t m v → 1 - v 2 / c 2

Mas como F → e v → estão na mesma direção então temos:

F = d d t m v 1 - v 2 / c 2

⇒ F = m 1 - v 2 / c 2 d v d t + m v 1 - v 2 / c 2 3 / 2 - 1 2 - 2 v c 2 d v d t

= m 1 - v 2 / c 2 d v d t + m v 1 - v 2 / c 2 3 / 2 v c 2 d v d t

Simplificando mais um pouco temos:

F = m 1 - v 2 / c 2 3 / 2 d v d t 1 - v 2 c 2 + v 2 c 2

= m 1 - v 2 / c 2 3 / 2 d v d t

Lembrando que a = d v / d t e isolando a temos:

a = F m 1 - v 2 / c 2 3 / 2

Passo 3

Agora para o item ( b ) vamos também derivar, só que a gora vai ser mais tranquilo já que v do denominador é constante, então:

F → = d d t m v → 1 - v 2 / c 2

⇒ F = m 1 - v 2 / c 2 d v d t

Lembrando que a = d v / d t e isolando a temos:

a = F m 1 - v 2 / c 2

Resposta

( a )

a = F m 1 - v 2 / c 2 3 / 2

( b )

a = F m 1 - v 2 / c 2

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