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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 63

63. Uma partícula de massa m acelerada por uma força constante F , de acordo com a mecânica newtoniana, deve continuar a ser acelerada indefinidamente. Ou seja. Quando t → ∞ ,   U → ∞ . Mostre que, de acordo com a mecânica relativística, a velocidade da partícula tende a c quando t → ∞ (Nota: uma integral útil é ∫ 1 - x 2 - 3 / 2   d x = x / 1 - x 2 .)

Passo 1

Então pessoal, para conseguirmos mostrar o que o enunciado pede teremos que usar a equação que nos dá a segunda lei de Newton na forma relativística, no caso a equação 37.30 , dada por:

F = m 1 - v 2 / c 2 3 / 2 a

E lembrando que:

a = d v d t

Vamos a parti dessas duas informações mostrar a afirmação do enunciado. Só pela nota do enunciado você pode perceber que vai rolar umas integrais e por conta de como definimos a .

Passo 2

Então temos o seguinte:

F = m 1 - v 2 / c 2 3 / 2 a

⇒ F = m 1 - v 2 / c 2 3 / 2 d v d t

Separando o que tem v para um lado e o que tem t para o outro, ficamos com:

d v 1 - v 2 / c 2 3 / 2 = F m d t

Passo 3

Agora vamos pegar a expressão que encontramos no passo 2 e integrar a parte da velocidade de v = 0 até uma velocidade v qualquer e de t = 0 até um tempo t qualquer, assim:

∫ 0 v d v 1 - v 2 / c 2 3 / 2 = ∫ 0 t F m d t

⇒ ∫ 0 v d v 1 - v 2 / c 2 3 / 2 = F m ∫ 0 t d t

Se você reparar, a integral do lado esquerdo está bem parecida com a integral fornecida pelo enunciado, para ela ficar igual e termos um resultado rápido, vamos fazer a seguinte substituição:

x = v c

d x = d v c

⇒ d v = d x c

E nossos limites de integração ficam 0 e v / c .

Então nossa integral fica assim:

c ∫ 0 v / c d x 1 - x 2 3 / 2 = F m ∫ 0 t d t

Então resolvendo essas integrais temos:

c x 1 - x 2 0 v / c = F m t 0 t

⇒ v 1 - v 2 / c 2 = F t m

Passo 4

Agora vamos pegar o resultado que encontramos no passo anterior e isolar v , pois assim encontraremos uma função v ( t ) e poderemos avaliá-la em t → ∞ .

Vamos lá.

v 1 - v 2 / c 2 = F t m

Vamos elevar os dois lados ao quadrado primeiro para nos livrarmos dessa raiz, assim:

v 2 1 - v 2 / c 2 = F t m 2

⇒ v 2 = F t m 2 1 - v 2 c 2

⇒ v 2 = F t m 2 - F t m 2 v 2 c 2

Deixando tudo que tem v de um lado, temos:

v 2 + F t m 2 v 2 c 2 = F t m 2

⇒ v 2 1 + F t m c 2 = F t m 2

⇒ v 2 = F t / m 2 1 + F t / m c 2

⇒ v 2 = F t / m 2 ( m 2 c 2 + F 2 t 2 ) / m 2 c 2

Tirando a raiz quadrada, temos:

v = F t / m m 2 c 2 + F 2 t 2 / m c

Então simplificando, temos;

v = c F t m 2 c 2 + F 2 t 2

Passo 5

Agora se pegarmos a função que achamos para v e fazer t → ∞ , temos que:

F t m 2 c 2 + F 2 t 2 → F t F 2 t 2 → F t F t = 1

Então ficamos com:

v = c

Resposta

Para

t → ∞

Temos

v → c

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