30. Beisebol relativístico. Calcule o módulo da força necessária para fornecer a uma bola de beisebol de 0,145   k g uma aceleração a = 1,0   m / s 2 na mesma direção e no mesmo sentido da velocidade inicial da bola de beisebol quando o módulo da velocidade é dado por a )   10,0   m / s ; b )   0,900 c ; c )   0,990 c . Repita os itens a ,   ( b ) e ( c ) para quando a força e a aceleração forem perpendiculares à velocidade.

Passo 1

Então o enunciado quer a força né? Então, podemos encontrar a força necessária para fornecer essa aceleração de 1,0   m / s 2 .

Mas nos itens do enunciado temos três situações diferentes.

Uma situação só ocorre no item ( a ) tanto para a força e aceleração na mesma direção da velocidade quanto perpendicular a ela. Como temos uma velocidade muito pequena temos que:

F = m a

Agora para o item ( b ) e ( c ) primeiro na situação em que a força e a aceleração tem a mesma direção que a velocidade, como as velocidades são bem grandes temos:

F = γ 3 m a

Agora para o item ( b ) e ( c ) na situação em que a força e a aceleração perpendiculares a velocidade, como as velocidades são bem grandes temos:

F = γ m a

Lembrando que

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Passo 2

Vamos então encontrar a força para o caso do item ( a ) , temos:

F = m a

Substituindo o que sabemos temos:

F = ( 0,145 ) ( 1 )

⇒ F = 0,145   N

Passo 3

Agora para o item ( b ) na primeira situação, temos:

F = γ 3 m a

⇒ F = 1 1 - v 2 / c 2 3 m a

Substituindo o que sabemos, temos:

F = 1 1 - ( 0,9 c ) 2 / c 2 3 ( 0,145 ) ( 1 )

= 1 1 - 0,81 3 ( 0,145 )

Então temos que:

F = 1,75   N

Passo 4

Agora para o item ( c ) na primeira situação, temos:

F = γ 3 m a

⇒ F = 1 1 - v 2 / c 2 3 m a

Substituindo o que sabemos, temos:

F = 1 1 - ( 0,9 9 c ) 2 / c 2 3 ( 0,145 ) ( 1 )

= 1 1 - 0 , 9 8 0 1 3 ( 0,145 )

Então temos que:

F = 51,7   N

Passo 5

Agora para o item ( b ) na segunda situação, temos:

F = γ m a

⇒ F = 1 1 - v 2 / c 2 m a

Substituindo o que sabemos, temos:

F = 1 1 - ( 0,9 c ) 2 / c 2 ( 0,145 ) ( 1 )

= 1 1 - 0,81 ( 0,145 )

Então temos que:

F = 0,333   N

Passo 6

Agora para o item ( c ) na primeira situação, temos:

F = γ m a

⇒ F = 1 1 - v 2 / c 2 m a

Substituindo o que sabemos, temos:

F = 1 1 - ( 0,9 9 c ) 2 / c 2 ( 0,145 ) ( 1 )

= 1 1 - 0,9801 ( 0,145 )

Então temos que:

F = 1,03   N

Resposta

( a )

Nas duas situações

F = 0,145   N

( b )

Primeira situação

F = 1,75   N

Segunda situação

F = 0,333   N

( c )

Primeira situação

F = 51,7   N

Segunda situação

F = 1,03   N

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