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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 64

64. Em um sistema S dois eventos ocorrem no mesmo ponto, sendo que o segundo ocorre 1,80   s depois do primeiro. Um observador situado em um segundo sistema S ' , que se move em relação ao sistema S , verifica que o segundo evento ocorre 2,35   s depois do primeiro. Qual é a diferença entre as posições dos dois eventos medida pelo observador situado em S ' ?

Passo 1

Então galera, nesse problema se vocês perceberem teremos que usar transformadas de Lorentz, vamos usar o resumo feito na equação 37.21 , mas especificamente as seguintes:

x ' = γ ( x - u t )

t ' = γ ( t - u x / c 2 )

Onde x ' e t ' são a posição e o tempo no referencial S ' .

Vamos adotar que x = 0 , nada nos impede de fazer isso já que o enunciado não especificou a posição dos eventos em S .

Assim, nossas equações ficam da seguinte forma:

x ' = - γ u t

t ' = γ t

Só que com isso não encontramos nada já que não sabemos os valores de γ e u , por isso vamos fazer algumas manipulações.

Passo 2

Vamos multiplicar os dois lados da segunda equação por c , assim:

c t ' = γ c t

Agora vamos elevar ao quadrado as equações que temos, assim:

x ' 2 = γ 2 u 2 t 2

c 2 t ' 2 = γ 2 c 2 t 2

Agora subtraindo a primeira da segunda temos:

c 2 t ' 2 - x ' 2 = γ 2 c 2 t 2 - γ 2 u 2 t 2

⇒ c 2 t ' 2 - x ' 2 = γ 2 ( c 2 t 2 - u 2 t 2 )

Passo 3

Agora vamos fazer o seguinte, vamos mexer no segundo termo da expressão que encontramos, lembrando que:

γ = 1 1 - u 2 / c 2

Então temos que:

γ 2 c 2 t 2 - u 2 t 2 = c 2 t 2 - u 2 t 2 1 - u 2 / c 2

= c 2 t 2 - u 2 t 2 ( c 2 - u 2 ) / c 2

= c 2 t 2 ( c 2 - u 2 ) c 2 - u 2

= c 2 t 2

Então com isso temos que:

c 2 t ' 2 - x ' 2 = c 2 t 2

Isolando x ' , temos:

x ' = c t ' 2 - t 2

Passo 4

Agora vamos substituir os valores que conhecemos na expressão que encontramos, ficamos com:

x ' = ( 3 ⋅ 10 8 ) ( 2,35 ) 2 - ( 1,8 ) 2

= 3 ⋅ 10 8 2,2825

Então temos que:

x ' = 4,53 ⋅ 10 8   m

Resposta

x ' = 4,53 ⋅ 10 8   m

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