Partícula na Caixa Unidimensional
Produzido por Bruno SoaresTeoria
Fala aí!!! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora entender juntos tudo sobre Partícula na Caixa Unidimensional?!
Um dos problemas mais tradicionais da mecânica quântica é o de uma partícula, como o elétron, confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento.
Esse problema é descrito pela Equação de Schrödinger independente do tempo para uma caixa unidimensional e hoje vamos entender o que é isso e como resolver esse problema!
Pra começar, vamos dar uma olhadinha na Equação de Schrödinger independente do tempo!
Equação de Schrödinger independente do tempo
Indo direto ao ponto, a Equação de Schrödinger independente do tempo é dada por:
Onde:
é a constante reduzida de planck que tem a seguinte relação: é a função de onda independente do tempo; é o potencial de cada região; é a massa da partícula. é a energia da partícula.
Beleza, agora podemos entender quem é essa tal de Caixa Unidimensional!
Partícula num poço de potencial infinito
O que a gente chama de “caixa” é uma armadilha para pegar ratos, digo, elétrons. 🤣
Nós fazemos um poço de potencial infinito, que se descreve matematicamente da seguinte forma:
Graficamente, o que acontece é o seguinte:

Ou seja a energia na regiões l e lll fora da caixa tem potencial infinito e a região I, dentro da caixa tem o potencial igual a zero. Vamos entender a diferença de potencial.
Equação de Schrödinger para as Regiões I e III
Fazendo
Onde
Se fizermos
Logo, fora da caixa, a função de onda tem que ser zero.
Equação de Schrödinger para a Região II
Temos a seguinte condição de contorno, considerando que a função de onda é zero fora da caixa e que ela é continua em todo o espaço nos dá as seguintes condições de contorno:
No interior da caixa
Onde
Resolvendo essa equação diferencial e utilizando as condições de contorno encontramos:
Onde
O que nos da:
Assim a função de onda, dada por:
Onde
Função densidade de probabilidade
Essa função determina a probabilidade do elétron estar numa determinada posição na caixa, e é encontrada elevando a função de onda ao quadrado porém em módulo.
Os gráficos dessa função possuem um jeito muito fácil de se esboçar. Mais importe do que calcular a função é entender que o número de cristas é proporcional ao número

As extremidades da caixa são sempre um nó (pontos onde

Na caixa:
Total de nós:
Esses nós correspondem a:
E isso rola pois quando o
Pra
E rearrumando em função da posição a gente encontra uma equação pra posição dos nós:
Para que
Teremos também
Obs: O
Pra esse seno ser
Enfim conseguimos uma equação para a posição dos picos:
Dessa vez precisamos que
Vamos usar como exemplo
Para os nós substituímos os valores de
Para
Para
Para
Para
A gente viu que são
Como
Substituímos
Energia da Partícula na Caixa
Ao resolvermos a equação de Schrödinger, tivemos que fazer:
Porém, quando montamos a equação, tínhamos:
Como os valores de
Substituindo
Atenção aqui, essa fórmula é bastante usada e será bem importante pra encontrar a energia do elétron em diferentes estados.
Para
Enquanto que para qualquer outro estado de energia:
Exemplo:
A gente pode agora fazer um exemplo aqui rápido, imagina que a energia no estado fundamental é
Para o terceiro estado a gente tem:
Aplicando na fórmula o valor de
Prontinho!
Agora eu vou te deixar com um resumindo em vídeo!
Vamos praticar com exercícios?!