Partícula na Caixa Unidimensional

Produzido por Bruno Soares
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Teoria

Fala aí!!! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora entender juntos tudo sobre Partícula na Caixa Unidimensional?!

Um dos problemas mais tradicionais da mecânica quântica é o de uma partícula, como o elétron, confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento.

Esse problema é descrito pela Equação de Schrödinger independente do tempo para uma caixa unidimensional e hoje vamos entender o que é isso e como resolver esse problema!

Pra começar, vamos dar uma olhadinha na Equação de Schrödinger independente do tempo!

Equação de Schrödinger independente do tempo

Indo direto ao ponto, a Equação de Schrödinger independente do tempo é dada por:

Onde:

  • é a constante reduzida de planck que tem a seguinte relação:
  • é a função de onda independente do tempo;
  • é o potencial de cada região;
  • é a massa da partícula.
  • é a energia da partícula.

Beleza, agora podemos entender quem é essa tal de Caixa Unidimensional!

Partícula num poço de potencial infinito

O que a gente chama de “caixa” é uma armadilha para pegar ratos, digo, elétrons. 🤣

Nós fazemos um poço de potencial infinito, que se descreve matematicamente da seguinte forma:

$$U(x)=\left\{\begin{matrix}\infty&x<0\0&00\end{matrix}\right.$$

Graficamente, o que acontece é o seguinte:

Elétron em uma caixa unidimensional
Elétron em uma caixa unidimensional

Ou seja a energia na regiões l e lll fora da caixa tem potencial infinito e a região I, dentro da caixa tem o potencial igual a zero. Vamos entender a diferença de potencial.

Equação de Schrödinger para as Regiões I e III

Fazendo constante, podemos observar que uma solução dessa equação é:

Onde .

Se fizermos , então .
Logo, fora da caixa, a função de onda tem que ser zero.

Equação de Schrödinger para a Região II

Temos a seguinte condição de contorno, considerando que a função de onda é zero fora da caixa e que ela é continua em todo o espaço nos dá as seguintes condições de contorno:

No interior da caixa e teremos:

Onde é uma rearrumação das constantes conhecidas dada por:

Resolvendo essa equação diferencial e utilizando as condições de contorno encontramos:

Onde . O valor de  é determinado a partir da condição de normalização:

O que nos da:

Assim a função de onda, dada por:

Onde  é o número quântico da partícula na caixa e é inteiro, mostrando que os estados possíveis da partícula são quantizados.

Função densidade de probabilidade

Essa função determina a probabilidade do elétron estar numa determinada posição na caixa, e é encontrada elevando a função de onda ao quadrado porém em módulo.

Os gráficos dessa função possuem um jeito muito fácil de se esboçar. Mais importe do que calcular a função é entender que o número de cristas é proporcional ao número .

Função densidade de probabilidade.
Função densidade de probabilidade.

As extremidades da caixa são sempre um nó (pontos onde ) por causa das condições de contorno. Além disso, dentro da caixa, terão sempre nós, totalizando nós. A gente pode usar como exemplo essas figuras dos estados, vamos pegar pra .

Nós da função de probabilidade.
Nós da função de probabilidade.

Na caixa:

ó
ó

Total de nós:

ó
ó

Esses nós correspondem a:

E isso rola pois quando o a função também será já que é uma constante multiplicando um seno.
Pra o argumento dentro dele deverá ser

E rearrumando em função da posição a gente encontra uma equação pra posição dos nós:

Para que esteja na região , é sempre menor ou igual a .
Teremos também picos, que correspondem a:

Obs: O  entra também na jogada por que os picos aparecem quando a densidade é máxima, e a densidade é dada a partir do . Sabendo que a função seno varia de  até ,  o  terá seu máximo á  quando o  e quando o .

Pra esse seno ser o argumento dentro do seno tem que ser

Enfim conseguimos uma equação para a posição dos picos:

Dessa vez precisamos que para ficar na região .

Vamos usar como exemplo e vamos calcular a posição dos nós e dos picos a gente viu pela figura que são nós.
Para os nós substituímos os valores de de até , na equação:

Para :

Para :

Para :

Para :

A gente viu que são picos, então usaremos a equação dos picos e vamos substituir os valore de m no intervalo de até .

Como :

Substituímos :

Energia da Partícula na Caixa

Ao resolvermos a equação de Schrödinger, tivemos que fazer:

Porém, quando montamos a equação, tínhamos:

Como os valores de da solução final são quantizados, então os níveis de energia da partícula também vão ser quantizados!

Substituindo , temos

Atenção aqui, essa fórmula é bastante usada e será bem importante pra encontrar a energia do elétron em diferentes estados.

Para nós temos a energia do estado fundamental:

Enquanto que para qualquer outro estado de energia:

Exemplo:

A gente pode agora fazer um exemplo aqui rápido, imagina que a energia no estado fundamental é qual será a energia no terceiro estado excitado?
Para o terceiro estado a gente tem:

Aplicando na fórmula o valor de .

Prontinho!

Agora eu vou te deixar com um resumindo em vídeo!

Vamos praticar com exercícios?!

Função densidade de probabilidade

Energia da Partícula na Caixa

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