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Partícula na Caixa Unidimensional

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Teoria

Fala aí!!! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora entender juntos tudo sobre Partícula na Caixa Unidimensional?!

Um dos problemas mais tradicionais da mecânica quântica é o de uma partícula, como o elétron, confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento.

Esse problema é descrito pela Equação de Schrödinger independente do tempo para uma caixa unidimensional e hoje vamos entender o que é isso e como resolver esse problema!

Pra começar, vamos dar uma olhadinha na Equação de Schrödinger independente do tempo!

Equação de Schrödinger independente do tempo

Indo direto ao ponto, a Equação de Schrödinger independente do tempo é dada por:

Onde:

  • é a constante reduzida de planck que tem a seguinte relação:
  • é a função de onda independente do tempo;
  • é o potencial de cada região;
  • é a massa da partícula.
  • é a energia da partícula.

Beleza, agora podemos entender quem é essa tal de Caixa Unidimensional!

Partícula num poço de potencial infinito

O que a gente chama de “caixa” é uma armadilha para pegar ratos, digo, elétrons. 🤣

Nós fazemos um poço de potencial infinito, que se descreve matematicamente da seguinte forma:

$$U(x)=\left\{\begin{matrix}\infty&x<0\0&00\end{matrix}\right.$$

Graficamente, o que acontece é o seguinte:

Elétron em uma caixa unidimensional
Elétron em uma caixa unidimensional

Ou seja a energia na regiões l e lll fora da caixa tem potencial infinito e a região I, dentro da caixa tem o potencial igual a zero. Vamos entender a diferença de potencial.

Equação de Schrödinger para as Regiões I e III

Fazendo constante, podemos observar que uma solução dessa equação é:

Onde .

Se fizermos , então .
Logo, fora da caixa, a função de onda tem que ser zero.

Equação de Schrödinger para a Região II

Temos a seguinte condição de contorno, considerando que a função de onda é zero fora da caixa e que ela é continua em todo o espaço nos dá as seguintes condições de contorno:

No interior da caixa e teremos:

Onde é uma rearrumação das constantes conhecidas dada por:

Resolvendo essa equação diferencial e utilizando as condições de contorno encontramos:

Onde . O valor de  é determinado a partir da condição de normalização:

O que nos da:

Assim a função de onda, dada por:

Onde  é o número quântico da partícula na caixa e é inteiro, mostrando que os estados possíveis da partícula são quantizados.

Função densidade de probabilidade

Essa função determina a probabilidade do elétron estar numa determinada posição na caixa, e é encontrada elevando a função de onda ao quadrado porém em módulo.

Os gráficos dessa função possuem um jeito muito fácil de se esboçar. Mais importe do que calcular a função é entender que o número de cristas é proporcional ao número .

Função densidade de probabilidade.
Função densidade de probabilidade.

As extremidades da caixa são sempre um nó (pontos onde ) por causa das condições de contorno. Além disso, dentro da caixa, terão sempre nós, totalizando nós. A gente pode usar como exemplo essas figuras dos estados, vamos pegar pra .

Nós da função de probabilidade.
Nós da função de probabilidade.

Na caixa:

ó
ó

Total de nós:

ó
ó

Esses nós correspondem a:

E isso rola pois quando o a função também será já que é uma constante multiplicando um seno.
Pra o argumento dentro dele deverá ser

E rearrumando em função da posição a gente encontra uma equação pra posição dos nós:

Para que esteja na região , é sempre menor ou igual a .
Teremos também picos, que correspondem a:

Obs: O  entra também na jogada por que os picos aparecem quando a densidade é máxima, e a densidade é dada a partir do . Sabendo que a função seno varia de  até ,  o  terá seu máximo á  quando o  e quando o .

Pra esse seno ser o argumento dentro do seno tem que ser

Enfim conseguimos uma equação para a posição dos picos:

Dessa vez precisamos que para ficar na região .

Vamos usar como exemplo e vamos calcular a posição dos nós e dos picos a gente viu pela figura que são nós.
Para os nós substituímos os valores de de até , na equação:

Para :

Para :

Para :

Para :

A gente viu que são picos, então usaremos a equação dos picos e vamos substituir os valore de m no intervalo de até .

Como :

Substituímos :

Energia da Partícula na Caixa

Ao resolvermos a equação de Schrödinger, tivemos que fazer:

Porém, quando montamos a equação, tínhamos:

Como os valores de da solução final são quantizados, então os níveis de energia da partícula também vão ser quantizados!

Substituindo , temos

Atenção aqui, essa fórmula é bastante usada e será bem importante pra encontrar a energia do elétron em diferentes estados.

Para nós temos a energia do estado fundamental:

Enquanto que para qualquer outro estado de energia:

Exemplo:

A gente pode agora fazer um exemplo aqui rápido, imagina que a energia no estado fundamental é qual será a energia no terceiro estado excitado?
Para o terceiro estado a gente tem:

Aplicando na fórmula o valor de .

Prontinho!

Agora eu vou te deixar com um resumindo em vídeo!

Vamos praticar com exercícios?!

Função densidade de probabilidade

Energia da Partícula na Caixa

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 240-13.

Um elétron que está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de largura L é excitado do estado fundamental para o primeiro estado excitado.

Essa excitação aumenta, diminui ou não tem nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em uma pequena região:

  1. No centro do poço?
  2. Perto de uma das bordas do poço?

Passo 1

Vamos resolver esse problema com argumentos mais qualitativos, lembrando que a função de onda para o elétron confinado é:

ψ n ⁡ x = 2 / L ∙ sen ⁡ n π L ∙ x

E a densidade de probabilidade de encontrar o elétron é:

ψ n 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

A probabilidade de encontrar o elétron em uma região vai ser:

∫ a b ψ n 2 x d x

Obs: Você poderia tentar deduzir a fórmula exata da probabilidade e tentar comparar para os dois estados, mas essa análise seria bem mais complicada.

Passo 2

Letra a)

No estado fundamental, temos n = 1 e a densidade de probabilidade fica:

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x

O gráfico fica:

O primeiro estado excitado corresponde a n = 2 .

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ 2 π L ∙ x

No primeiro gráfico é possível ver que ψ 2 está mais concentrado no centro da figura, enquanto na segunda o centro tem um mínimo.

Isso significa que a probabilidade de detectar o elétron numa pequena região ao redor do centro da figura diminui.

Passo 3

Letra b)

Usando os mesmos gráficos do item anterior, observa-se o seguinte:

Para n = 1 , a função de onda é mais concentrada no meio da figura e próximo da parede ela é bem pequena, enquanto para n = 2 temos dois máximos mais próximos das paredes, e a função de onda se concentra mais nesses dois máximos.

Como eles são mais próximos das paredes, ψ 2 cresce mais rápido próximo das paredes neste caso e por isso a probabilidade de achar o elétron em uma pequena região próxima da parede será maior.

Resposta

Letra a)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região no centro do poço diminui.

Letra b)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região próxima das paredes aumenta.

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-13.

Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com 100   p m de largura; o elétron se encontra no estado fundamental.

Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma região de largura Δ x = 5,0   p m em torno do ponto:

  1. x = 25   p m
  2. x = 50   p m
  3. x = 90   p m

(Sugestão: A largura Δ x é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior)

Passo 1

A probabilidade de se encontrar o elétron numa dada região a , b é dada por:

P = ∫ a b ψ 2 x d x

Mas, usando a sugestão do problema, podemos aproximá-la por:

P ≅ ψ 2 x ∙ Δ x

Onde, no caso da partícula confinada num poço unidimensional:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

E para o estado fundamental n = 1 .

Passo 2

Letra a)

Pelo enunciado, L = 100   p m .

Para x = 25   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 25 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 4

ψ 2 = 2 100 ∙ 2 2 2 = 1 50 ∙ 2 4 = 1 100

Como Δ x = 5   p m , a probabilidade usando nossa aproximação será:

P = 5 100 = 0,05 = 5 %

Passo 3

Letra b)

Para x = 50   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 50 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 2

ψ 2 = 2 100 ∙ 1 2 = 1 50

Com Δ x = 5   p m a probabilidade fica:

P = 5 50 = 1 10 = 0,1 = 10 %

Passo 4

Letra c)

Para x = 90   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 90 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ 9 π 10

ψ 2 ≅ 0,00191

Com Δ x = 5   p m a probabilidade fica:

P ≅ 0,00191 ∙ 5 ≅ 0,00955 = 0,955 %

Resposta

Letra a)

P = 0,05 = 5 %

Letra b)

P = 0,1 = 10 %

Letra c)]

P ≅ 0,00955 = 0,955 %

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2012.1.

Um elétron encontra-se aprisionado num poço de potencial unidimensional infinito de comprimento L (caixa quântica).

Este elétron comporta-se como uma corda presa nas extremidades ( x = 0 e x = L ) e está inicialmente no estado fundamental.

Dados m e , L , h e ∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4 , em função dos dados:

  1. Deduza a energia e o momento do elétron.
  2. Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
  3. Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = L / 4 , se ele estiver no segundo estado?
  4. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?
  5. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

Passo 1

a) Deduza a energia e o momento do elétron.

Para uma onda estacionária, podemos dizer que:

L = n λ 2 → λ = 2 L n

O momento do elétron é dado por:

p n = h λ = n h 2 L

Como o elétron se encontra no estado fundamental, n = 1 , logo:

p 1 = h 2 L

Passo 2

A energia do elétron é dada por:

E 1 = p 1 2 2 m e

Substituindo a expressão para p 1 que acabamos de encontrar:

E 1 = h 2 8 m e L 2

Passo 3

b) Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.

A expressão geral para a função de onda em um problema de poço de potencial infinito é:

ψ n = A sen ⁡ n π x L

O valor de A é encontrado a partir da condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ x 2 d x = 1

Mas como o elétron está aprisionado na caixa de comprimento L , a função de onda só existe no intervalo 0 < x < L , os limites de integração serão 0 e L .

A 2 ∫ 0 L sen 2 ⁡ n π x L d x = 1

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

t = n π x L

d t = n π L d x

0 < x < L

0 < t < n π

Substituindo na integral, teremos:

A 2 L n π ∫ 0 n π sen 2 ⁡ t d t = 1

Segundo o enunciado:

∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Logo:

A 2 L n π   t 2 - sen ⁡ 2 t 4 0 n π = 1

A 2 L n π n π 2 = 1

A 2 L 2 = 1

A = 2 / L  

Substituindo na expressão da função de onda:

ψ n = 2 / L   sen ⁡ n π x L

No estado fundamental, n = 1 , logo:

ψ 1 = 2 / L   sen ⁡ π x L

Passo 4

c) Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = L / 4 , se ele estiver no segundo estado?

Se o elétron estiver no segundo estado, então n = 2 , e a função de onda é dada por:

ψ 2 = 2 / L   sen ⁡ 2 π x L

A probabilidade de o elétron estar na região 0 ≤ x ≤ L / 4 é dada por:

p = ∫ 0 L / 4 ψ x 2 d x

Logo:

p = 2 L ∫ 0 L / 4 sen 2 ⁡ 2 π x L d x

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

t = 2 π x L

d t = 2 π L d x

0 < x < L / 4

0 < t < π / 2

Substituindo na integral, teremos:

p = 2 L L 2 π   ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ t d t = 1 π ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ t d t

Segundo o enunciado:

∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Logo:

p = 1 π   t 2 - sen ⁡ 2 t 4 0 π / 2

p = 1 π   π 4 = 1 4

Passo 5

d) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo a < x < b é dado por:

p = ∫ a b ψ x 2   d x

Se o elétron estiver no quarto estado, então n = 4 , e a função de onda é dada por:

ψ 4 = 2 / L   sen ⁡ 4 π x L

Os pontos de menor probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde: ψ 4 = 0

Logo:

sen ⁡ 4 π x L = 0

Isso só é possível quando o argumento da função seno é igual a um número inteiro de π :

4 π x L = n π

x = n L 4

0 < x < L

Logo, os pontos possíveis serão:

x = 0 , L 4 , L 2 , 3 L 4 ,   L

Passo 6

e) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo a < x < b é dado por:

p = ∫ a b ψ x 2   d x

Se o elétron estiver no quarto estado, então n = 4 , e a função de onda é dada por:

ψ 4 = 2 / L   sen ⁡ 4 π x L

Os pontos de maior probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde ψ 4 é máximo ou mínimo, garantindo que ψ 4 2 seja máximo. Logo:

sen ⁡ 4 π x L = ± 1

Isso só é possível quando:

4 π x L = 1 2 + n π

x = 1 2 + n L 4

0 < x < L

Logo, os pontos possíveis serão:

x = L 8 , 3 L 8 , 5 L 8 , 7 L 8

Resposta

a)

p 1 = h 2 L

E 1 = h 2 8 m e L 2

b)

ψ 1 = 2 / L   sen ⁡ π x L

c)

p = 1 4

d)

x = 0 , L 4 , L 2 , 3 L 4 ,   L

e)

x = L 8 , 3 L 8 , 5 L 8 , 7 L 8

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 240-4, modificado

Um próton é confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com 100   p m de largura.

Qual é a energia do estado fundamental?

Dado:

Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27   k g

Passo 1

A energia de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito unidimensional é:

E n = h 2 8 m L 2 n 2

Para uma partícula no estado fundamental temos n = 1 , e a energia fica:

E = h 2 8 m L 2

Passo 2

Temos que:

  • Constante de Planck h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s
  • Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27   k g
  • Largura do poço L = 100   p m = 100 ∙ 10 - 12   m

Substituindo:

E = 6,626 2 ∙ 10 - 68 8 ∙ 1,673 ∙ 10 - 27 ∙ 10 - 20 ≅ 3,28 ∙ 10 - 21   J

Passando para elétrons-Volt, temos:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E = 3,28 ∙ 10 - 21 1,602 ∙ 10 - 19 = 2,05 ∙ 10 - 2   e V = 0,0205   e V

Resposta

E = 3,28 ∙ 10 - 21   J = 0,0205   e V

Exercício Resolvido #5

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 260-40.5

É necessário fornecer 3,0   e V de energia a um átomo para excitar um elétron do nível fundamental até o primeiro nível excitado.

Considere o átomo um elétron em uma caixa e calcule a largura L da caixa.

Dado:

Massa do elétron m e = 9,1 ∙ 10 - 31   k g

Passo 1

O que o problema nos diz é que a diferença de energia entre o estado fundamental e o primeiro nível excitado ( E 2 - E 1 ) é 3,0   e V .

A energia em qualquer nível é dada por:

E n = n 2 E 1

Onde E 1 é a energia no estado fundamental, dada por:

E 1 = h 2 8 m L 2

Passo 2

Δ E = E 2 - E 1 = 2 2 - 1 2 h 2 8 m L 2

Rearrumando:

L 2 = 3 h 2 8 m Δ E

Onde:

h = 6,626 ∙ 10 - 34   J   s ;

Δ E = 3,0   e V = 4,8 ∙ 10 - 19   J ;

m = 9,1 ∙ 10 - 31   k g ;

Logo:

L = h 3 8 m Δ E

L = 6,626 ∙ 10 - 34 3 8 ∙ 9,1 ∙ 10 - 31 ∙ 4,8 ∙ 10 - 19

L = 6,13 ∙ 10 - 10   m

L = 0,61   n m

Resposta

0,61   n m

Exercício Resolvido #6

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2

Uma partícula de massa m está confinada em um tubo de comprimento L .

O momento linear e a energia dessa partícula são respectivamente iguais a:

  1. n h / L ; n 2 h 2 / ( 8 L 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …
  2. n h / L ; n 2 h 2 / ( 8 L 2 m ) ,   n = 0 ,   1 ,   2 , …
  3. n h / ( 2 L ) ; n 2 h 2 / ( 8 L 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …
  4. n h / ( 2 L ) ; n 2 h 2 / ( 8 L 2 m ) ,   n = 0 ,   1 ,   2 , …
  5. n h / ( 2 L ) ; n 2 h 2 / ( 4 L 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …
  6. n h / ( 2 L ) ; n 2 h 2 / ( 4 L 2 m ) ,   n = 0 ,   1 ,   2 , …
  7. 2 L / ( n h ) ; n 2 h 2 / ( L 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …
  8. 2 L / n h ; 2 L 2 / ( n 2 h 2 m ) ,   n = 0 ,   1 ,   2 , …
  9. 2 L / n h ; 2 L 2 / ( n 2 h 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …
  10. L / ( n h ) ; L 2 / ( 2 n 2 h 2 m ) ,   n = 0 ,   1 ,   2 , …
  11. L / ( n h ) ; L 2 / ( 2 n 2 h 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …
  12. n h / L ; n 2 h 2 / ( L 2 m ) ,   n = 0 ,   1 ,   2 , …

Passo 1

Uma vez que a partícula está confinada no tubo, podemos tratar o problema como um poço de potencial infinito.

Assim, a energia da partícula é dada por:

E = n 2 h 2 8 m L 2

Podemos relacionar a energia e o momento linear o elétron a partir de:

E = p 2 2 m

p = 2 m E

p = 2 m n 2 h 2 8 m L 2 = n 2 h 2 4 L 2

p = n h 2 L

No estado mais baixo de energia ( estado fundamental) n não pode ser igual a zero pois, neste caso, a função de onda seria sempre zero (a energia do elétron nunca é nula).

Assim, os valores possíveis para n são:

n = 1 ,   2 ,   …

Resposta

Letra (c): n h / ( 2 L ) ; n 2 h 2 / ( 8 L 2 m ) ,   n = 1 ,   2 , …

Exercício Resolvido #7

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2014.1

Seja Δ E n a diferença de energia entre dois níveis de energia adjacentes E n e E n + 1 para uma partícula em uma caixa (poço infinito). A razão R n = Δ E n / E n compara a energia de um nível com a diferença de energia entre este nível de energia e a energia de um nível adjacente.

Qual é o valor máximo de R n ?

a ) 3

b ) 5

c ) 1

d ) 5 2

e ) 1 2

f ) 3 2

g ) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

As energias permitidas em um poço de potencial infinito são dadas por:

E n = n 2 E 1

Onde n representa o nível de energia e E 1 representa a energia no estado fundamental, dada por:

E 1 = h 2 8 m L 2

Passo 2

Substituindo as expressões do Passo 1 na expressão de R n , teremos:

R n = Δ E n E n

R n = E n + 1 - E n E n

R n = n + 1 2 E 1 - n 2 E 1 n 2 E 1 = E 1 n + 1 2 - n 2 n 2 E 1

Beleza, agora é só ir dando uma arrumada na casa.

R n = n + 1 2 - n 2 n 2

R n = n 2 + 2 n + 1 - n 2 n 2

R n = 2 n + 1 n 2

R n = 2 n + 1 n 2

Passo 3

Analisando a expressão de R n podemos ver que, quanto maior o valor de n , menor será o valor de R n . Assim, para que R n tenha o maior valor possível, n deverá ter o menor valor possível, logo:

n = 1

R 1 = 2 + 1

R 1 = 3

Assim, a resposta certa é a letra a .

Resposta

a ) 3

Exercício Resolvido #8

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 260-40.1

  1. Determine o nível de energia mais baixo para a partícula em uma caixa supondo que a partícula seja uma bola de bilhar m = 0,20   k g e que a largura da caixa seja 1,5   m , o tamanho de uma mesa do jogo de bilhar. (Suponha que a bola de bilhar deslize sem atrito em vez de rolar. Ou seja, despreze a energia cinética da rotação.).
  2. Como a energia do item (a) é totalmente dada pela energia cinética, a que velocidade isso corresponde? Com essa velocidade, quanto tempo a bola levaria para ir de uma extremidade da mesa até a outra?
  3. Qual é a diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 ?
  4. Os efeitos da mecânica quântica são importantes para o jogo de bilhar?

Passo 1

Letra (a): Determine o nível de energia mais baixo para a partícula em uma caixa supondo que a partícula seja uma bola de bilhar m = 0,20   k g e que a largura da caixa seja 1,5   m , o tamanho de uma mesa do jogo de bilhar. (Suponha que a bola de bilhar deslize sem atrito em vez de rolar. Ou seja, despreze a energia cinética da rotação.).

O nível mais baixo de energia corresponde à energia do estado fundamental, dada por:

E 1 = h 2 8 m L 2

Onde:

h = 6,626 ∙ 10 - 34   J   s ;

m = 0,2   k g ;

L = 1,5   m ;

Logo:

E 1 = 6,626 ∙ 10 - 34 2 8 ∙ 0,2 ∙ 1,5 2 = 1,22 ∙ 10 - 67   J

Passo 2

Letra (b): Como a energia do item (a) é totalmente dada pela energia cinética, a que velocidade isso corresponde? Com essa velocidade, quanto tempo a bola levaria para ir de uma extremidade da mesa até a outra?

Comparando a energia encontrada no item (a) com a energia cinética, temos:

m v 2 2 = E 1

v = 2 E 1 m

Onde:

m = 0,2   k g ;

E 1 = 1,22 ∙ 10 - 67   J ;

Logo:

v = 2 ∙ 1,22 ∙ 10 - 67 0,2 = 1,1 ∙ 10 - 33   m / s

Passo 3

O tempo necessário para chegar ao outro lado da caixa é dado por:

v = Δ s Δ t → Δ t = Δ s v = L v

Δ t = 1,5 1,1 ∙ 10 - 33 = 1,4 ∙ 10 33   s  

Passo 4

Letra (c): Qual é a diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 ?

A energia em qualquer nível de energia é dado por:

E n = n 2 E 1

Logo:

E 2 - E 1 = 2 2 - 1 2 E 1

Onde E 1 = 1,22 ∙ 10 - 67   J .

E 2 - E 1 = 3 ∙ 1,22 ∙ 10 - 67 = 3,66 ∙ 10 - 67   J

Passo 5

Letra (d): Os efeitos da mecânica quântica são importantes para o jogo de bilhar?

Não, pois a energia no estado fundamental é muito pequena para uma massa relativamente grande.

Além disso, a velocidade é muito pequena em comparação com a escala da bola, que fica com um tempo de percurso correspondente a mais de um bilhão de anos.

Resposta

Letra (a):

E 1 = 1,22 ∙ 10 - 67   J

Letra (b):

v = 1,1 ∙ 10 - 33   m / s

Δ t = 1,4 ∙ 10 33   s  

Letra (c):

E 2 - E 1 = 3,66 ∙ 10 - 67   J

Letra (d):

Não, pois a energia no estado fundamental é muito pequena para uma massa relativamente grande.

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Uma caixa unidimensional está no eixo x na região de 0 ≤ x ≤ L. Uma partícula nesta caixa está em seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de a partícula ser encontrada na região (a) x L21 0
Um dado de seis lados tem o número 1 pintado em três lados e o número 2 pintado nos outros três lados. (a) Qual é a probabilidade de aparecer 1 quando o dado é lançado? (b) Qual é o valor esperado do