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Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 34.1 - Ex. 48

Uma caixa unidimensional está no eixo x na região de 0 ≤ x ≤ L. Uma partícula nesta caixa está em seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de a partícula ser encontrada na região (a) x L21 0

Passo 1

Bem, a probabilidade de uma partícula no estado fundamental ser encontrada numa região de 0 ≤ x ≤ d é:

P x = ∫ 0 d ψ 1 2 x d x

Onde:

ψ 1 x = 2 L s e n π x L

Dessa forma:

P x = ∫ 0 d 2 L s e n 2 π x L d x

Podemos fazer a substituição θ = π x L :

d θ = π L d x e x = L θ π

P x = ∫ 0 π d L 2 L s e n 2 π L θ π L L π   d θ

P x = 2 π ∫ 0 π d L s e n 2 θ   d θ

E essa integral é tabela:

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π d L

Então, para cada letra, vamos apenas mudar o valor de d !

Passo 2

(a) Aqui d = L / 2 , então:

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π L 2 L

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π 2

P x = 2 π   π 4 - s e n 2 π 2 4 - 0 + s e n 0 4

P x = 2 π   π 4

∴

P x = 1 2 = 0,5

Passo 3

(b) Agora, d = L / 3 :

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π L 3 L

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π 3

P x = 2 π   π 6 - s e n 2 π 3 4 - 0 + s e n 0 4

P x = 2 π   π 6 - 3 8

P x = 1 3 - 3 4 π

∴

P x = 0 , 196

Passo 4

(c) Agora, d = 3 L / 4 :

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π 3 L 4 L

P x = 2 π   θ 2 - s e n 2 θ 4 0 3 π 4

P x = 2 π   3 π 8 - s e n 6 π 4 4 - 0 + s e n 0 4

P x = 2 π   3 π 8 - - 1 4

P x = 3 4 + 1 2 π

∴

P x = 0 , 909

Resposta

(a) 0,5

(b) 0,196

(c) 0,909

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