Energia Total Relativística
Teoria
Belezoca pessoal, com certeza você já deve ter ouvido falar sobre usinas nucleares que usam urânio enriquecido para gerar energia, elas costumam usar elementos de combustível de urânio com cerca de , cada elemento abastece aproximadamente residências de porte médio por .
Mas a pergunta que não quer calar:
Dá onde que esses de urânio tirou tanta energia?!
Energia de Repouso
Belezera galera, vamos com carinho. Durante muito tempo os cientistas acreditaram que as conservações de massa e energia ocorriam independentes uma da outra. Até que um dia, ninguém menos que Albert Einstein propôs algo completamente diferente, a Energia de Repouso, dada pela desconhecidíssima equação:
Onde o índice da energia indica que estamos analisando energia de um corpo em repouso.
Essa equação é a conexão entre massa e energia, ou seja, ela diz que toda massa pode se transformar em energia e vice-versa, isso significa que um corpo em repouso, somente por possuir massa, vai possuir uma energia que chamamos de Energia de Repouso.
A malandragem disso tudo, é que justamente na fissão nuclear que ocorre dentro de uma usina nuclear, que eles tentam retirar essa energia de repouso contida nos elementos. Então toda aquela energia que tem origem das de urânio, provém da sua energia de repouso (e mesmo assim, só conseguem retirar dessa energia).
Energia Total Relativística
Iradoso, mas e agora se o corpo estivesse em movimento?!
Mas pera lá jovem mancebo, nesse caso, se o corpo está em movimento, então ele possui uma certa energia cinética , de forma que a energia total relativística, vai ser a soma da energia de repouso com essa energia cinética , logo:
Outra maneira que podemos encontrar esta mesma expressão, é escrita utilizando o fator de Lorentz :
Tal que:
Onde é o que chamamos de massa relativística, e é dada pela equação:
O interessante desse novo conceito de massa é perceber que, diferente do que acontecia antes, a massa agora não é mais um valor constante, ela está variando de acordo com a velocidade. Ou seja, para velocidades muito pequenas como estamos acostumados no mundo que vivemos, o termo vai tender a zero, afinal a velocidade da luz é muito grande na nossa vida:
E por isso as implicações sobre a massa são mínimas, e podemos ignorar esses efeitos, de forma que a energia total passa a ser a energia de repouso:
Mas agora quando olhamos para velocidades próximas a da luz, a história muda um pouco. Afinal o termo não vai mais estar próximo de , fazendo a massa ser alterada, aumentando cada vez mais. Isso cresce indefinidamente até atingir a velocidade da luz, onde a massa explode no infinito e concomitantemente a energia total também:
Isso quer dizer que para levar um corpo de qualquer massa, do repouso até a velocidade da luz, é necessária uma quantidade infinita de energia. Por esse motivo, ainda é fisicamente impossível alcançar, quiçá ultrapassar a velocidade da luz.
Então feshow de bola galerinha, bora lá praticar um pouquinho os exercícios pra gente ficar sagaz nessa matéria!!
Energia de Repouso
Energia Total Relativística
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37, pp 174 – 37.31.
Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é
- Igual à energia de repouso?
- Cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?
Passo 1
a) Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é igual à energia de repouso?
A energia total é igual à soma da energia cinética com a energia em repouso . Assim:
Passo 2
De acordo com o enunciado, a energia cinética é igual à energia em repouso.
Substituindo na equação da energia, teremos que:
Dividindo os dois membros por :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Agora só temos que arrumar a equação para encontrar o valor de :
Passo 3
b) Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?
De acordo com o enunciado, a energia cinética é cinco vezes maior que a energia em repouso.
Substituindo na equação da energia, teremos que:
Dividindo os dois membros por :
Elevando os dois lados ao quadrado:
Agora só temos que arrumar a equação para encontrar o valor de :
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #2
PUCRIO-P3-2013.2-1ª, modificado
um nêutron de tem energia cinética maior, menor ou igual à energia total de um elétron de ? Justifique.
Obs:
Quando dizemos que se trata de “um elétron de ”, isso quer dizer que sua energia cinética é .
Passo 1
Para determinar se a energia total do elétron é maior, menor ou igual que a energia cinética, vamos então calcular tal energia:
Quando dizemos que se trata de “um elétron de ”, isso quer dizer que sua energia cinética é .
Passo 2
Agora vamos determinar a energia total desse elétron. A definição de energia total, nos dá:
Sabendo que a massa do elétron vezes o quadrado da velocidade da luz é dado por
Calma..esse valor não saiu da cartola, ele é geralmente dado na capa da prova.
Passo 3
Podemos agora calcular a energia total:
Portanto, a energia total do életron é maior do que a energia cinética do nêutron ()
Resposta
Portanto, a energia total do életron é maior do que a energia cinética do nêutron ()
Exercício Resolvido #3
UFRJ-P2-2012.1-ME07
Um próton e um elétron são acelerados até que suas energias totais sejam o dobro das suas respectivas energias de repouso.
Sendo a energia de repouso do próton e a do elétron , a razão entre as velocidades do próton e do elétron é:
- Nenhuma das anteriores
Passo 1
A energia relativística é dada por:
Onde:
Passo 2
O problema diz que as partículas são aceleradas até que suas energias totais sejam o dobro das suas respectivas energias de repouso.
Para o próton:
Onde e é o para o próton Logo:
Ok, podemos ir à frente e calcular a velocidade, mas como podemos ver, a velocidade não vai depender da massa.
Assim, quando fizermos a mesma relação para o elétron, encontraremos:
No final das contas, acharemos a mesma velocidade para os dois.
Portanto, a razão entre as velocidades será:
Resposta
Letra (b):