Momento Linear Relativístico
Produzido por Bruno SoaresTeoria
Introdução
Você que chegou até aqui deve saber bem como calcular um momento linear certo? Bom e se eu te pedir pra me ajudar a calcular o momento linear de uma partícula de que viaja com uma velocidade , será que a gente consegue?
O momento linear que a gente conhece é:
Onde é a velocidade da partícula, ou objeto, do qual estamos calculando o momento linear e é a massa do objeto.
AH então é só substituir os valores aqui e já era né?
Errado! Esquecemos de considerar os efeitos da relatividade.
Momento Linear Relativístico
Mas então no caso relativístico, quais mudanças teremos?
No capítulo anterior vimos a definição de massa relativística, e vimos que quando as velocidades são muito altas a massa também sofre distorção.
Então podemos escrever a expressão do momento linear relativístico da seguinte forma:
Onde é a massa relativística, dada por:
Lembrando que é o fator de Lorentz, dado por:
Sendo assim temos:
Então podemos dizer que o momento linear relativístico nada mais é que:
Se liga! Repara que a única diferença dessa fórmula para a fórmula de momento linear que usávamos antes é o fator de Lorentz , que aparece multiplicando ali. A gente pode dizer que o fator de Lorentz é uma espécie de fator de correção.
Então pro nosso exemplo o primeiro passo é calcular o fator de Lorentz:
E então como eu disse a única coisa que muda é o fator de Lorentz, vamos pegar o valor que encontramos e multiplicar por ele, beleza?
Como:
Viu, são bem diferentes os valores, então fique atento pra não errar isso. Se a gente analisar graficamente a relação dos momentos lineares poderemos ver o quão diferente são conforme a velocidade se aproxima á da luz.
A linha vermelha representa a expressão do momento linear que usávamos até então e a linha azul representa a expressão do momento linear relativístico.
Correlações importantes!
Existem outras relações entre energia relativística e momento relativístico que são muito importantes!
Lembra que a energia total relativística era dada por:
A primeira delas nós encontramos quando multiplicamos o momento relativístico por e comparamos com a energia. Dá uma olhada!
Se a gente rearrumar então temos:
Esta é a primeira relação!
A segunda é uma equação que relaciona a energia total , a energia em repouso e o momento linear , e a gente costuma dizer que esse é o “Teorema de Pitágoras relativístico”.
Existe uma forma matemática que leva um pouco de tempo pra chegar nessa equação. Porém após deduzida, a galera percebeu uma forma mais fácil de calculá-la, é só montar o seguinte triângulo:
E aplicar nele o teorema de Pitágoras:
Ou:
Também podemos relacionar o momento linear com a energia cinética relativística:
Onde:
E substituindo o valor da energia total temos:
E pra achar a relação é só multiplicar os dois lados por
Vamos aplicar isso?
Um elétron possui energia cinética de , sabendo que a energia em repouso do elétron é calcule o momento linear em função da velocidade da luz:
Vamos começar usando a equação da energia total:
Agora usando o teorema de Pitágoras relativístico temos:
Extraindo a raiz:
Agora vamos substituir os valores conhecidos:
É comum os exercícios cobrarem o momento linear em função da velocidade da luz , e até nas provas fica mais fácil de corrigir.
O foco principal é saber usar as relações e não esquecer do fator de Lorentz pra esse tipo de momento linear, beleza?
Bora pros exercícios!