Impulso e Momento Linear com Massa Variável

Produzido por Ludovic Beghin
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Momento Linear diferencial

Vimos que a fórmula de momento linear é

p = m . v  

Mas essa fómula só pode ser usada quando temos massa e velocidade constantes, o problema é que na realidade dificilmente temos algo constante. Vamos ver um exemplo, imagina um caminhão pipa que pesa 10000 k g , mas ele está furado e está perdendo água, e por isso sua massa cai numa taxa constante de 100 k g / s , conforme o tempo passa. Se sua velocidade inicial v 0 = 40 m / s e ele não possui aceleração inicial calcule a aceleração do sistema causada pela perda de massa.

Nesses casos onde a velocidade varia, a gente vai precisar derivar a equação do momento linear.

d p d t = d ( m . v ) d t

Pela regra da derivada do produto temos que

d p d t = d m d t . v 0 + m 0 . d v d t

Como a derivada da velocidade no tempo é aceleração

a = d v d t

Podemos reescrever a equação acima

d p d t = d m d t . v 0 + m 0 . a

E ainda, se for um problema onde não há ação de forças externas, ou seja, o momento linear vai se conservar, lembra disso?

p i = p f

Então a gente pode dizer que a derivada no tempo:

d p d t = 0

Assim

0 = d m d t . v 0 + m 0 . a

m 0 . a = - d m d t . v 0  

Podemos isolar a aceleração e obter a equação para acelerar um sistema é

a = - v 0 m 0 . d m d t

E aí trazemos os valores do enunciado e não podemos esquecer do sinal da taxa de massa que nesse caso é negativa pois o caminhão está perdendo massa.

v 0 = 40 m s

m 0 = 10000 k g  

d m d t = - 100 k g s  

E substituindo:

a = - 40 10000 × - 100 = 0,4 m / s

Isso é, só pelo fato de estar perdendo água, esse caminhão fica mais leve e como o momento se conserva, ele passa a se mover cada vez mais rápido. Maneiro, né!

Então quando tiver problema onde o momento linear do sistema se conservar e houver variação de massa e aceleração do sistema, já sabe que fórmula usar.

Impulso quando a massa varia

Imagina que numa fábrica de chocolate possui uma máquina com uma esteira com velocidade contante v = 10 m / s e joga 2 barras por segundo na esteira. Se cada barra possui 0,4 k g como calcula a força que o motor dessa máquina precisa fazer pra manter a velocidade constante?

Aqui a gente tem um caso da máquina inserindo uma força no sistema, essa força ao longo do tempo causa o impulso e como a gente tem a massa variando temos que o impulso I será dado por:

I = F . d t = d p

Lembrando que a derivada pode ser lida como uma variação infinitesimal

Então temos que

F = d p d t

Se a velocidade é constante e a massa está variando temos:

F = d m d t . v + m 0 . 0

F = v . d m d t

E aqui a gente pode substituir nossos valores onde a taxa de variação da massa com o tempo nada mais é que a derivada da mesma em relação ao tempo e como são 2 barras por segundo:

d m d t = 2 × 0,4 = 0,8 k g / s  

E enfim:

F = 10 × 0,8 = 8 N

Então, nessa máquina, a força do motor para mante-la operando com velocidade constante, sabendo que a cada segundo 2 barras de chocolate são colocadas nela, é de 8 N !

Partiu exercícios pessoal?

Impulso quando a massa varia

Exercícios de Livros Relacionados