Impulso e Momento Linear com Massa Variável
Teoria
Momento Linear diferencial
Vimos que a fórmula de momento linear é
Mas essa fómula só pode ser usada quando temos massa e velocidade constantes, o problema é que na realidade dificilmente temos algo constante. Vamos ver um exemplo, imagina um caminhão pipa que pesa , mas ele está furado e está perdendo água, e por isso sua massa cai numa taxa constante de , conforme o tempo passa. Se sua velocidade inicial e ele não possui aceleração inicial calcule a aceleração do sistema causada pela perda de massa.
Nesses casos onde a velocidade varia, a gente vai precisar derivar a equação do momento linear.
Pela regra da derivada do produto temos que
Como a derivada da velocidade no tempo é aceleração
Podemos reescrever a equação acima
E ainda, se for um problema onde não há ação de forças externas, ou seja, o momento linear vai se conservar, lembra disso?
Então a gente pode dizer que a derivada no tempo:
Assim
Podemos isolar a aceleração e obter a equação para acelerar um sistema é
E aí trazemos os valores do enunciado e não podemos esquecer do sinal da taxa de massa que nesse caso é negativa pois o caminhão está perdendo massa.
E substituindo:
Isso é, só pelo fato de estar perdendo água, esse caminhão fica mais leve e como o momento se conserva, ele passa a se mover cada vez mais rápido. Maneiro, né!
Então quando tiver problema onde o momento linear do sistema se conservar e houver variação de massa e aceleração do sistema, já sabe que fórmula usar.
Impulso quando a massa varia
Imagina que numa fábrica de chocolate possui uma máquina com uma esteira com velocidade contante e joga 2 barras por segundo na esteira. Se cada barra possui como calcula a força que o motor dessa máquina precisa fazer pra manter a velocidade constante?
Aqui a gente tem um caso da máquina inserindo uma força no sistema, essa força ao longo do tempo causa o impulso e como a gente tem a massa variando temos que o impulso será dado por:
Lembrando que a derivada pode ser lida como uma variação infinitesimal
Então temos que
Se a velocidade é constante e a massa está variando temos:
E aqui a gente pode substituir nossos valores onde a taxa de variação da massa com o tempo nada mais é que a derivada da mesma em relação ao tempo e como são 2 barras por segundo:
E enfim:
Então, nessa máquina, a força do motor para mante-la operando com velocidade constante, sabendo que a cada segundo 2 barras de chocolate são colocadas nela, é de !
Partiu exercícios pessoal?
Impulso quando a massa varia
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 280–58
Um foguete é lançado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. Sabendo que a massa inicial do foguete é igual a e que ele emite um gás cuja velocidade em relação ao foguete possui módulo igual a qual é a quantidade de gás expelida no primeiro segundo para que sua aceleração seja igual a ?
Passo 1
Temos um foguete no espaço sideral que ejeta gás (perde massa) para acelerar. Disso podemos observar que:
- O momento linear do sistema se conserva (nã há ação de forças externas);
- A massa do sistema está variando (ejeta o gás);
- A velocidade está variando (pois há uma aceleração);
O problema ainda nos deu as seguintes informações
Opaa,opaa! A velocidade que o problema deu foi a velocidade do gás, não a velocidade inicial do foguete?!?!?! Se você observar bem ele deu a velocidade do gás em relação ao foguete, logo se pensarmos que o gás ta parado temos que a velocidade do foguete em relação ao gás é
Passo 2
Como vimos na teoria, temos uma fórmula já pornta para essse tipo de problema. Mas você poderia chegar nela se derivação a equação de momento linear. Como já fizemos isso na teoria, vamos apenas aplica-la
Substituindo os dados que já temos chegamos em
Como a unidade já fala a massa vai variar a cada segundo então temos que a quantidade de gá expelida no primeiro segundo é
Resposta
de gás foi expelida no primeiro segundo
Exercício Resolvido #2
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 280–59
Um foguete é disparado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. No primeiro segundo ele emite da sua massa como gás de expansão e possui uma aceleração igual a . Qual é o módulo da velocidade do gás de expansão em relação ao foguete?
Passo 1
Temos um foguete no espaço sideral que perdendo massa, pois emite um gás para acelerar. Como não há ação de forças externas, temos que o momento linear vai se conservar. Assim vemos que é um exercício onde podemos aplicar a fórmula
O problema nos deu a aceleração no primeiro segundo e nos disse em quanto variou a massa nesse primeiro segundo.
Como o problema nos dá todos os dados para um intervalo de tempo definido podemos dizer que
Passo 2
Então podemos substituir na equação
Assim o módulo da velocidade do gás em relação ao foguete é
Resposta
Exercício Resolvido #3
USP – 2ª Prova - 2011
Um trem é carregado com areia ao passar sob uma ponte. A areia é despejada nos vagões à taxa de 500kg por segundo. Como a areia é despejada verticalmente de uma altura de vários metros, ao atingir a caçamba do vagão, a velocidade dos grãos de areia é de cerca de 14m/s. A massa do vagão vazio é de 2.000kg, e é preenchido
com 6.000kg de areia ao passar sob a ponte.
Desprezando-se as perdas por atrito com os trilhos, determine a força que a locomotiva precisa fazer para puxar o trem a uma velocidade constante de 0,5m/s e a potência necessária para manter o movimento. Note que como o sistema não pode ser considerado como uma partícula não é conveniente a utilização do teorema trabalho-energia cinética.
Determine a força suportada pelo trecho de trilhos sob um vagão quando este estiver 50% preenchido de areia. Suponha que o trecho de trilhos em questão suporta somente este vagão neste momento.
Se a locomotiva desengatar do primeiro vagão quantos segundos se passarão até que o restante do trem reduza sua velocidade à metade da inicial? Suponha que a massa do restante do trem (incluindo a areia) seja de 10.000kg no instante do desengate.
Passo 1
Essa questão envolve alguns conceitos legais de impulso e variação do momento linear.
O autor nos forneceu os seguinte dados:
Passo 2
Para determinar a força, como a massa é variável, não podemos utilizar a 2ª Lei de Newton! Mas daí hei que surge o impulso! :D
Pelo Teorema do Impulso, temos que:
Ou melhor:
Passando o dt para o outro lado, teremos:
Passo 3
Sabemos que , porém como a massa é variável e a velocidade constante podemos escrever a seguinte relação:
E assim...
Mas quem seria o
A derivada da massa em relação ao tempo, ou seja, taxa de variação da massa, algo que tenha unidade kg/s ou algo do tipo!
Eureka! Lá no enunciado ele nos diz que os carrinhos são abastecidos com 500kg/s de areia, o que seria justamente essa variação!
Calculando de vez agora, temos que:
Passo 4
Agora pra acabar esse item a) só falta calcular a potência necessária! Lembra da potência? A fórmula dela é
Mas tem outra equaçãozinha muito boa també que é
Como já temos a força e a velocidade é só substituir e correr pro abraço!
Passo 5
Para ver a força que esta parte do trilho suporta, devemos primeiro ver o que esse trilho suporta. Claro, tem o peso do trem+areia.
Como o peso é calculado por , a gente vai só somar a massa e multiplicar pela gravidade, que nesse caso é .
Passo 6
Mas e aí, só?
Que nada! Existe também uma força que o trilho faz nos grãos de areia para fazerem eles frearem. Essa força pode ser calculada também por impulso, na forma:
Passo 7
Somando tudo agora, teremos que:
Passo 8
Lá no “Passo 3” a gente viu que a variação de massa por tempo a gente chamava
Passando o para o lado esquerdo, teremos:
Integrando de ambos os lados, a gente vai encontrar...
Ou seja, esse tempo só dependerá da variação da massa de areia .
Passo 9
Mas como achar esse ?
Pela conservação do momento linear, sabemos que antes tínhamos um trem com velocidade e depois, ao encher de areia sua velocidade diminui para . Assim, teremos que:
Como ,
E assim...
Resposta