Cinética dos Gases
Produzido por Leonardo de BemTeoria
O que é isso?
Vimos que gases ideais podem ser caracterizados pelas suas propriedades macroscópicas (como pressão e temperatura), que são aquelas que nós podemos medir, sentir, visualizar. Na prática, são uma média do comportamento de zilhões de partículas.
Okay, mas por que a gente não usa uma partícula ao invés de zilhões? Parece loucura né? Tem como saber as propriedades microscópicas?
Dá pra saber a velocidade de uma única partícula? Quantas vezes por segundo uma molécula se choca com outra?
A resposta é: dá! Mas a gente vai ter que usar valores médios! =P
Chamamos isso de Teoria Cinética dos Gases.
Velocidade Quadrática Média
Imagina num cilindro de gás, várias moléculas agitadas indo de um lado pro outro cada uma com sua velocidade.
A velocidade quadrática média é a média das velocidades das partículas no sistema, no nosso desenho seria bem fácil de encontra-la já que temos só 4 partículas mas nos problemas reais são milhares de partículas super agitadas, então a gente vai achar um outro jeito de calcular essa velocidade.
A energia total de cada uma dessas moléculas é dada pelo teorema da equipartição de energia (que vamos estudar com mais detalhes depois), que diz que pra uma molécula monoatômica isso vale:
Detalhe que pra gases não monoatômicos o cálculo da energia muda, de forma geral é:
Onde pra cada situação é dado o valor da constante , porém 99% das vezes o gás é monoatômico, mas fica a dica pra quando não for.
Onde k é a constante de Boltzmann, ;
T é a temperatura do gás em Kelvin.
Como temos um gás ideal, a energia potencial é zero. Para uma única molécula de massa , temos pela conservação da energia que:
Então substituindo a energia do gás monoatômico temos:
E isolamos a nossa velocidade quadrática média.
Chamamos de velocidade quadrática média ( ou do inglês root mean square), pois vem da energia cinética, que tem a velocidade ao quadrado!
A gente ainda pode, reescrever a em função de outras paradas vamos começar usando a relação.
R é a constante dos gases ideais e o número de Avogadro. Podemos chegar em uma fórmula equivalente:
E aqui se liga:
Onde M é a massa molar do gás (quantidade de massa por número de mols), daí:
Temos ainda um terceiro jeito de se encontrar essa velocidade, vamos começar lembrando que:
Passando para o outro lado e lembrando que a densidade é dada por temos:
Daí isolamos
Substituindo na equação da velocidade quadrática média a gente tem:
Cortando e subindo , temos:
Analisando as fórmulas, vemos que quanto maior a temperatura ou maior a pressão, maior vai ser a velocidade das moléculas, como esperado.
Bora fazer um exemplo pra gente treinar, vamos encontrar a velocidade quadrática média do nitrogênio a 50, dados e
Aqui a meta é analisar qual das equações usar pra sair o mais rápido possível, temos a massa molar a constante dos gases, e a temperatura qual das equações usar? Essa aqui:
Lembrando que não é errado sair por outras mas, pra você não dar voltas é bom escolher as quais você já tem os dados, lembrando que aqui temos que converter a temperatura pra kelvin.
Daí substituindo a gente tem:
Não precisa ficar tão fissurado com as unidades, se trabalhar com Joule e Kelvin a velocidade vai sair em , como no SI.
Livre Caminho Médio
Imagine uma garrafa de com várias bolinhas de gude. Você começa a balançar essa garrafa. As bolinhas irão colidir com a parede da garrafa e entre elas, certo? Se a gente pensar numa escala microscópica é parecido com o que rola com as moléculas de gás.
O livre caminho médio é a media das distâncias que uma molécula consegue andar antes de bater, bora olhar na figura e imaginar o percurso dessa molécula aqui.
Qual seria o livre caminho médio, analisando a molécula verde? Pensando de forma simples a gente pode dizer que:
Porém quando falamos de gases, a quantidade de moléculas não é tão pequena e não faria sentido calcular assim o percurso de milhões de moléculas portanto temos uma outra forma interessante de calcular isso mais rápido.
Como Calcular?
Vamos calcular o livre caminho médio, chamado de , pela fórmula:
Onde é o volume do recipiente onde o gás está confinado, é o número de átomos ou moléculas e é o diâmetro do átomo ou molécula que compõe o gás.
Em exercicíos desse assunto, é muito comum ser pedido o diâmetro do átomo ou molécula, dado a quantidade de partículas por centímetro cúbico. Para trabalhar com esse dado, podemos reescrever a fórmula da seguinte maneira:
Frequência ou tempo das colisões
Se tivermos a velocidade das partículas podemos descobrir o tempo médio entre um choque e outro (), pois
Se dividirmos os dois lados por temos então o tempo:
Ou a frequência de choques, quantas vezes eles se chocam por segundo, se lembrarmos que:
Daí temos como relacionar também com a frequência, basta invertermos a equação:
Então, por exemplo, se tivermos uma amostra de gás hidrogênio a uma temperatura de e seu livre caminho médio nessa condição é de . Sabendo que existem cerca de 50 átomos de hidrogênio por centímetro cúbico e que o diâmetro de um átomo de hidrogênio é da ordem de . Qual a frequência de choques nessa amostra?
Massa molar do hidrogênio:
Bom, nós já temos o livre caminho médio, podemos achar a velocidade e jogar na fórmula:
Para achar a velocidade:
Com isso, achamos :
Pronto, já vimos bastante coisa, agora mãos à obra!