Teoria

O que é isso?

Vimos que gases ideais podem ser caracterizados pelas suas propriedades macroscópicas (como pressão e temperatura), que são aquelas que nós podemos medir, sentir, visualizar. Na prática, são uma média do comportamento de zilhões de partículas.

Okay, mas por que a gente não usa uma partícula ao invés de zilhões? Parece loucura né? Tem como saber as propriedades microscópicas?

Dá pra saber a velocidade de uma única partícula? Quantas vezes por segundo uma molécula se choca com outra?

A resposta é: dá! Mas a gente vai ter que usar valores médios! =P

Chamamos isso de Teoria Cinética dos Gases.

Velocidade Quadrática Média v q m

Imagina num cilindro de gás, várias moléculas agitadas indo de um lado pro outro cada uma com sua velocidade.

A velocidade quadrática média é a média das velocidades das partículas no sistema, no nosso desenho seria bem fácil de encontra-la já que temos só 4 partículas mas nos problemas reais são milhares de partículas super agitadas, então a gente vai achar um outro jeito de calcular essa velocidade.

A energia total de cada uma dessas moléculas é dada pelo teorema da equipartição de energia (que vamos estudar com mais detalhes depois), que diz que pra uma molécula monoatômica isso vale:

E = 3 2 k T

Detalhe que pra gases não monoatômicos o cálculo da energia muda, de forma geral é:

E = g k T

Onde pra cada situação é dado o valor da constante g , porém 99% das vezes o gás é monoatômico, mas fica a dica pra quando não for.

Onde k é a constante de Boltzmann, k = 1,38 × 10 - 23   J / K ;

T é a temperatura do gás em Kelvin.

Como temos um gás ideal, a energia potencial é zero. Para uma única molécula de massa m , temos pela conservação da energia que:

E = E P + E C = 0 + m v 2 2

Então substituindo a energia do gás monoatômico temos:

3 2 k T = m v 2 2

E isolamos a nossa velocidade quadrática média.

v = v q m = 3 k T m

Chamamos de velocidade quadrática média ( v q m ou v r m s do inglês root mean square), pois vem da energia cinética, que tem a velocidade ao quadrado!

A gente ainda pode, reescrever a v q m em função de outras paradas vamos começar usando a relação.

k = R N A

R é a constante dos gases ideais e N A o número de Avogadro. Podemos chegar em uma fórmula equivalente:

v q m = 3 k T m = 3 R T N A × m

E aqui se liga:

N A × m = M

Onde M é a massa molar do gás (quantidade de massa por número de mols), daí:

v q m = 3 R T M

Temos ainda um terceiro jeito de se encontrar essa velocidade, vamos começar lembrando que:

P V R T = m M

Passando V para o outro lado e lembrando que a densidade é dada por ρ = m / V   temos:

P R T = ρ M

Daí isolamos M :

M = ρ R T P

Substituindo na equação da velocidade quadrática média a gente tem:

v q m = 3 R T M = 3 R T ρ R T P

Cortando R T e subindo T , temos:

v q m = 3 P ρ

Analisando as fórmulas, vemos que quanto maior a temperatura ou maior a pressão, maior vai ser a velocidade das moléculas, como esperado.

Bora fazer um exemplo pra gente treinar, vamos encontrar a velocidade quadrática média do nitrogênio a 50 ° C , dados M = 28 × 10 - 3 k g / m o l e R = 8,31 J / ( M o l × K ) .

Aqui a meta é analisar qual das equações usar pra sair o mais rápido possível, temos a massa molar a constante dos gases, e a temperatura qual das equações usar? Essa aqui:

v q m = 3 R T M

Lembrando que não é errado sair por outras mas, pra você não dar voltas é bom escolher as quais você já tem os dados, lembrando que aqui temos que converter a temperatura pra kelvin.

K = C + 273 = 50 + 273 = 323 ° K

Daí substituindo a gente tem:

v q m = 3 × 8,31 × 323 28 × 10 - 3

Não precisa ficar tão fissurado com as unidades, se trabalhar com Joule e Kelvin a velocidade vai sair em m / s , como no SI.

v q m = 287,58 × 10 3 = 536,27 m / s

Livre Caminho Médio

Imagine uma garrafa de 2   L com várias bolinhas de gude. Você começa a balançar essa garrafa. As bolinhas irão colidir com a parede da garrafa e entre elas, certo? Se a gente pensar numa escala microscópica é parecido com o que rola com as moléculas de gás.

O livre caminho médio é a media das distâncias que uma molécula consegue andar antes de bater, bora olhar na figura e imaginar o percurso dessa molécula aqui.

Qual seria o livre caminho médio, analisando a molécula verde? Pensando de forma simples a gente pode dizer que:

λ = ∑ i = 1 n s i / n    

Porém quando falamos de gases, a quantidade de moléculas não é tão pequena e não faria sentido calcular assim o percurso de milhões de moléculas portanto temos uma outra forma interessante de calcular isso mais rápido.

Como Calcular?

Vamos calcular o livre caminho médio, chamado de λ , pela fórmula:

λ = V 2 π . N . d 2

Onde V   é o volume do recipiente onde o gás está confinado, N é o número de átomos ou moléculas e d é o diâmetro do átomo ou molécula que compõe o gás.

Em exercicíos desse assunto, é muito comum ser pedido o diâmetro do átomo ou molécula, dado a quantidade de partículas por centímetro cúbico. Para trabalhar com esse dado, podemos reescrever a fórmula da seguinte maneira:

λ = 1 2 π . N V . d 2

Frequência ou tempo das colisões

Se tivermos a velocidade das partículas v podemos descobrir o tempo médio entre um choque e outro ( t ), pois

v = λ t

Se dividirmos os dois lados por v temos então o tempo:

t = V 2 π N d 2 v

Ou a frequência de choques, quantas vezes eles se chocam por segundo, se lembrarmos que:

t = 1 f

Daí temos como relacionar também com a frequência, basta invertermos a equação:

f = 2 π N d 2 v V

Então, por exemplo, se tivermos uma amostra de gás hidrogênio a uma temperatura de 20 K e seu livre caminho médio nessa condição é de 4,5 × 10 11   m . Sabendo que existem cerca de 50 átomos de hidrogênio por centímetro cúbico e que o diâmetro de um átomo de hidrogênio é da ordem de 10 - 8 c m . Qual a frequência de choques nessa amostra?

Massa molar do hidrogênio: 2 × 10 - 3   k g / m o l

R = 8,3   J / m o l . K

Bom, nós já temos o livre caminho médio, podemos achar a velocidade e jogar na fórmula:

v = λ t

v = λ f → f = v λ

Para achar a velocidade:

v q m = 3 R T M = ( 3 ) ( 8,3 ) ( 20 ) 2 × 10 - 3 ≈ 500   m / s

Com isso, achamos f :

f = v λ = 500 4,5 × 10 11 ≈ 1,11 × 10 - 9   s - 1

Pronto, já vimos bastante coisa, agora mãos à obra!

Livre Caminho Médio

Como Calcular?

Frequência ou tempo das colisões

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