Diagrama TS

O primeiro passo para transformar um diagrama - em - é conferir se tem alguma isoterma ou adiabática, porque no diagrama - essas transformações são retas.

Nesse caso, temos duas transformações adiabáticas.

Pela figura, as adiabáticas são e .

Transformações adiabáticas são retas verticais no diagrama -, pois a entropia é constante.

Observação: lembrando que processos adiabáticos e reversíveis tem entropia constante:

Pelas alternativas, podemos eliminar a letra .

Agora que sabemos que temos duas adiabáticas, temos que ver o sentido.

Primeiro: no diagrama - mostrado, o sentido do ciclo é horário.

Como o trabalho é a área do ciclo nos dois diagramas, então o sentido do ciclo no diagrama - também deve ser horário.

Observação: lembrando que o sentido do ciclo determina se o trabalho é positivo ou negativo. Se for sentido horário, é positivo e vice-versa.

Assim, podemos eliminar as letras e .

Logo, só nos resta a letra como resposta.

Só para garantir que esta é a resposta certa, podemos ver que nos processos isovolumétricos, a pressão aumenta.

Aplicando a equação dos gases ideais no processo , por exemplo:

Como :

Como , então .

De fato, podemos observar isso na resposta da letra !

Resolvendo item

Como o ciclo é reversível, podemos calcular a variação de entropia do ciclo desta forma:

Na forma diferencial:

Substituindo na integral do ciclo:

Então, essa integral é o saldo de calor no ciclo.

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica no ciclo:

Como a variação de energia interna só depende dos estados inicial e final, em um ciclo essa variação é zero.

Logo:

Então, se

Logo:

Resolvendo item

O trabalho realizado é dado por:

Ou seja:

Nos processos e , a área abaixo da curva é zero.

Então, precisamos calcular essa integral só nos processos e .

Calculando integral no processo :

Nesse processo, o enunciado nos disse que

Pois, nesse processo, a pressão é constante.

Substituindo na integral:

Logo:

Calculando integral no processo :

Nesse processo, o enunciado nos disse que

Pois, nesse processo, o volume é constante.

Substituindo na integral:

Logo:

Substituindo o que encontramos na integral do ciclo:

Logo, o trabalho realizado no ciclo é dado por:

Para desenhar o diagrama -, vamos ver quais curvas correspondem a cada processo:

: aquecimento a pressão constante

Nesse caso, como a pressão é constante, a curva é uma reta horizontal.

Como é um aquecimento, a direção é da esquerda para a direita, pois:

Como , então .

Pela equação do gás ideal a pressão constante:

Como a temperatura aumenta, o volume também aumenta. Por isso, o sentido da seta é da esquerda para a direita.

: resfriamento adiabático

A curva adiabática tem direção da esquerda para a direita, pois a temperatura diminui.

Sabemos que a curva adiabática é mais inclinada do que as isotermas:

Então, nosso gráfico fica assim:

: resfriamento a volume constante

Nesse caso, a curva é uma reta vertical, pois o volume é constante.

Pela equação do gás ideal a volume constante:

Como a temperatura diminuiu, a pressão também diminui.

Então a direção é para baixo.

: aquecimento adiabático

Como é um aquecimento, a curva tem direção da direita para esquerda.

Pra fechar o ciclo, só poderia ser assim mesmo.

Então o gráfico fica assim:

Eu imagino que a “maneira tradicional” de calcular trabalho é pela integral:

Ou seja, a área sobre a curva no diagrama -.

No processo isobárico , temos .

Logo:

O problema nos pede que o trabalho seja colocado em termos das temperaturas.

Colocando a equação do gás ideal nos pontos e :

Subtraindo a segunda da primeira:

Como :

Vamos lá:

Primeiro, de pra

Como nesse processo a energia interna é a mesma, a variação de energia interna é zero. Isso só acontece quando a temperatura é constante e, portanto, num processo isotérmico:

Isotérmico.

Nesse processo a variação de entropia é nula, então, só pode ser um processo adiabático:

adiabático.

Mesma coisa de antes, sem variação de energia interna, logo, isotérmico.

Isotérmico.

Sem variação de entropia, então, processo adiabático.

adiabático.

Por ser um processo isotérmico:

Usando a primeira lei:

Show?

Agora, lembrando da equação diferencial da entropia:

Como , se integrarmos nos dois lados:

Opa, encontramos uma equação para o trabalho. Só que não podemos usar esse

Lembra da equação da energia interna?:

Como o gás é monoatômico,

E:

Então:

Nesse caso, a variação de entropia é igual a zero por esse processo ser adiabático. Então, por ser adiabático, não há troca de calor:

:

Novamente, um processo isotérmico. Então vai ser bem parecido:

E:

Então:

:

Processo adiabático! Então:

Como descobrir se o ciclo representa uma máquina térmica ou um refrigerador? Bom, basta calcular o trabalho total.

Se for positivo, será uma máquina térmica, se for negativo, um refrigerador, já que a máquina térmica sempre “anda” no sentido horário e o refrigerador no sentido anti-horário. Assim:

O trabalho total é a soma de todos os trabalhos e vale:

Como o trabalho total é positivo, o ciclo representa uma máquina térmica. Então o que precisamos calcular é a eficiência térmica:

Bom, o trabalho do ciclo nós já sabemos, mas quanto vale o calor absorvido da fonte quente?

Bom, temos achar em qual processo isso acontece. Temos 4 processos: 2 adiabáticos e 2 isotérmicos.

O calor não pode ter sido absorvido em nenhum dos dois adiabáticos, já que ali não há troca de calor, certo?

Então nos restam os processos isotérmicos. Em um dos processos isotérmicos, há um aumento de entropia, enquanto no outro há uma diminuição.

Entropia geralmente aumenta com o acréscimo de calor, não é mesmo? Já que a entropia mede a desordem de um sistema e acrescentar calor em um sistema não poderia deixar ele mais ordenado, só mais desordenado ( já que você tá enfiando mais energia nele).

Então o processo onde há ganho de calor é o processo . O calor dele a gente já calculou:

Então:

Vamos agora comparar a eficiência desse ciclo com a eficiência de um ciclo de Carnot operando entre as temperaturas extremas.

Bem, mas podemos resolver de outra forma.

Na nossa teoria, a gente viu que um ciclo de Carnot operando em um diagrama fica assim:

Beleza?

Bem, mas lembra que é função de Não só isso, é um função linear já que:

Então, isso quer dizer que um ciclo de Carnot operando num diagrama vai ter o mesmo formato que o formato acima.

Opa, mas é o formato que o enunciado nos dá:

Conclusão: Esse é um ciclo de Carnot! Você poderia ter deduzido isso, também, vendo que um ciclo de Carnot sempre é formado por dois processos isotérmicos e dois processos adiabáticos.

Resposta: Mesma eficiência que um ciclo de Carnot.

Bom, olha só que malandragem vamos usar agora pra resolver essa questão de um jeito tranquilinho....Se liga na marotagem...

Para um ciclo, temos que a variação de energia interna é nula. Assim:

Então basta a gente calcular o calor total do ciclo! Olha só! Simples assim!

Já que:

Bom, como acabamos de calcular o trabalho para o ciclo e vimos que se trata de um valor positivo, chegamos à conclusão de que se trata de uma máquina térmica.

Os processos são adiabáticos. Neles, não ocorre variação de entropia, assim, a entropia é constante. No diagrama, isso vai aparecer como retas verticais.

Já os outros dois processos são logarítimicos. Afinal de contas, aparecem logaritmos nas expressões das variações. Uma vez que o ponto é o que apresenta maior temperatura, conseguimos esboçar um diagrama com uma cara mais ou menos assim: