Variação de Entropia: Gás ideal
Teoria
Opaa! Bora aprender sobre a variação de entropia com o RespondeAí?!
A segunda lei da termodinâmica diz que que a variação de entropia do universo tende sempre a aumentar.
A entropia,
Como poderíamos calcular a variação de entropia do sistema abaixo?
A resposta é: Depende!
Para um caso geral usamos então a seguinte equação para a variação da entropia:
Onde
Mas para cada situação vamos usar uma formulazinha especial, como a gente pode ver nessa tabela resumo 👇
-Mas eu preciso decorar todas essas fórmulas?
Não, fica calmo! 🤣🤣🤣 Vamos entender da onde surge esse monte e fórmula e como chegamos nela a partir da fórmula geral!
Cálculo da Variação de Entropia
Vamos considerar 4 casos para os gases ideais. Processo adiabático reversível, isovolumétrico, isobárico e isotérmico.
Agora vamos ver como cada caso funciona!
Processo Adiabático Reversível
Nesse processo não há troca de calor no sistema portanto o calor absorvido pelas moléculas,
Então:
É um processo em que a entropia não varia, chamado de isentrópico!
Processo Isovolumétrico
No processo isovolumétrico não há variação do volume do gás, ele não se expande e nem se comprime.
Aqui precisaremos calcular o calor pra substituir na equação da entropia. Isso porquê no caso isovolumétrico o calor depende da variação de temperatura, então a integral deixará de ser em função do calor pra ser em função da temperatura.
Como calcular o calor nesse processo? Basta lembrar que:
E por isso temos:
Substituindo o
Como para um gás ideal
Integrando:
Então se te pedissem pra calcular um gás num processo isovolumétrico você precisaria somente das constantes:
que é o número de moléculas em mols do gás. que é o calor específico ao volume constante do gás que pro gás ideal é dada por: Onde
é a constante dos gases reais e é a constante pra cada tipo de gás (monoatômico, diatômico, poliatômico.) e são as temperaturas inicial e final do gás, respectivamente. Só fique atento as unidades, se o calor específico for dado em
a temperatura deverá ser em .
Processo Isobárico
Aqui não há variação de pressão e o calor será como no volumétrico uma função da temperatura.
A única diferença aqui é que usaremos o calor específico para pressão constante
Se jogarmos na equação da entropia e integrarmos, vai dar:
A única coisa nova aqui é o calor específico na pressão constante
Processo Isotérmico
Nesse processo a temperatura não varia e portanto a variação da energia interna do gás
Isso influencia diretamente a primeira lei da termodinâmica:
Lembrando que o trabalho aqui é dado por:
Substituindo na integral da entropia temos:
Só que agora a pressão não é constante com o volume. Temos que transformar as coisas, usando o a lei dos gases ideais:
Substituindo na integral
Resolvendo a integral:
Então pro processo isotérmico em relação ao que já vimos antes só vamos depender das constantes,
Se você quiser entender mais de transformações gasosas pode clicar aqui!
Agora que já entendemos como calcular a variação de entropia pra gases ideais, podemos ver uma aplicação muito utilizada!
A variação de entropia nos ciclos termodinâmicos! Clica aqui em baixo pra conferir 👇
Bora praticar com exercícios?!
Cálculo da Variação de Entropia
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET – Prova Final – Prof. Hilário
Duas amostras de um gás à mesma temperatura e pressão, são comprimidas do volume para um volume , uma isotermicamente e outra adiabaticamente.
Determine a pressão final nos dois casos
Determine a variação de entropia nos dois casos.
Passo 1
Bom, pra descobrir a pressão final no caso da transformação isotérmica é fácil, basta usar o Piviti-Póvoto:
Sendo , e :
Sendo a pressão inicial.
E no caso da transformação adiabática, vamos usar a fórmula:
Logo:
Sendo que o é indicado de acordo com o tipo do gás (monoatômico, diatômico, etc).
Passo 2
Transformação isotérmica:
Nesse caso, como a temperatura não varia, vamos ter . E, pela primeira lei:
O trabalho de uma transformação isotérmica é dado por:
Logo:
Como a variação de entropia é dada por:
Como a temperatura é constante, a variação fica:
Substituindo o valor de :
Como e :
Passo 3
Transformação adiabática:
Vamos dar uma olhada na integral:
Como numa transformação desse tipo não há troca de calor, a integral acima irá zerar. Logo:
Resposta
Transformação isotérmica:
Transformação adiabática:
Exercício Resolvido #2
UNICAMP – 3ª Prova - 2012
Um recipiente rígido (volume constante) e isolado termicamente contém de nitrogênio na forma de gás a pressão de e a temperatura de . Um agitador mecânico, com pás no interior do recipiente, realiza de trabalho sobre o gás. O calor específico do nitrogênio, a volume constante, é .
Calcule a temperatura final do gás.
Calcule a variação de entropia do universo neste processo.
Passo 1
Vamos analisar o problema com a primeira lei da termodinâmica:
Como o gás está isolado termicamente: :
Como o trabalho que foi realizado sobre o gás foi feito por um agente externo, :
Passo 2
Agora vamos usar a fórmula:
Vamos aplicar os valores que o enunciado deu e os que conseguimos na relação abaixo:
Lembrando que:
Sendo :
Passo 3
A variação de entropia do universo (gás + pás + resto) é dada por
Mas como
Já que não houve uma troca de calor (mesmo que a entropia do gás tenha aumentado).
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ – 1ª Prova – 2012.2
Uma máquina térmica opera entre dois reservatórios a e . Ela absorve de calor do reservatório de temperatura mais elevada e executa de trabalho durante um ciclo. Encontre, com justificativas:
A variação da entropia da máquina em um ciclo e a variação da entropia do universo para este processo.
O trabalho feito por uma máquina de Carnot que opera entre esses dois reservatórios absorvendo de calor da fonte de temperatura mais elevada.
Passo 1
A variação de entropia de um processo cíclico é sempre igual à zero. Por quê? Oras, porque, como a entropia é uma variável termodinâmica, ela só depende dos pontos finais e inicias. Mas como num ciclo o processo todo volta para o inicio, a variação da entropia vai dar zero:
Passo 2
E a variação de entropia do universo? Bom, a variação de entropia do universo é a soma de todas as variações. Então é a soma da variação do ciclo, mais da fonte quente e mais a da fria:
Bom, a variação de entropia da fonte fria é dada por:
Onde é o calor recebido pela fonte fria e que é despejado do ciclo.
Usando a relação:
A gente pode achar facilmente
Então, sendo
O valor é positivo, pois o calor entra na fonte fria.
A entropia da fonte quente é igual ao calor que ela perde para o ciclo dividido pela temperatura da fonte quente:
Então:
Passo 3
Antes a gente precisa calcular o rendimento de uma máquina de Carnot operando entre essas temperaturas:
Beleza?
Agora usamos a propriedade:
Resposta
;
Exercício Resolvido #4
PUC-RIO – 3ª Prova – 2010.2
O ciclo da figura abaixo representa a operaçãoo de um motor de combustão interna de gasolina (ciclo de Otto). Suponha que a mistura gasolina-ar é equivalente a mols de um gás ideal com .
Determine as razões entre as temperaturas absolutas , e .
Determine as razões entre as pressões e .
Determine o trabalho total realizado no ciclo (em função de ).
Em que fase o calor é fornecido ao sistema? Calcule esse calor (em função de ).
Calcule a eficiência dessa máquina, supondo que todas as trocas de calor ocorrem com fontes externas ao sistema.
Determine a variação de entropia da substância de trabalho em cada fase do ciclo (em função de ).
Passo 1
Antes de atacar o problema, vamos primeiro extrair as informações que são dadas através da figura:
Para determinar as razões, vamos montar as equações, baseada na lei dos gases ideais, para dois pontos e depois dividir as duas para obter a razão! Ficou confuso? Se liga, então:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Agora é só dividir a equação do ponto pela equação do ponto :
Passo 2
Para o processo adiabático entre os pontos e , temos:
Fazendo as substituições, temos:
Passo 3
Analogamente, temos para o processo adiabático entre os pontos e :
Fazendo as substituições, temos:
Passo 4
Para determinar as razões entre as pressões, vamos fazer como fizemos no item anterior:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Lembrando que fizemos as substituições baseadas nas informações que extraímos da figura e das razões que achamos no item anterior!
Dividindo a equação para o ponto pela equação para o ponto , temos:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo procedimento para os pontos e !
Para o ponto , temos:
Agor é só dividir a equação para o ponto pela equação para o ponto !
Passo 6
Vamos primeiro analisar a figura. Podemos perceber que o trabalho realizado entre e e entre e é zero pois são processos isovolumétricos!
Agora vamos para os processos adiabáticos. Nesses processos, sabemos que não há troca de calor, ou seja:
portanto, pela primeira lei da termodinâmica, temos:
Pela definição de energia interna, temos:
Precisamos agora determinar , que são os graus de liberdade do gás:
Passo 7
Para determinar , podemos utilizar a definição de
Como o valor de é dado, temos:
Passo 8
Agora podemos calcular o trabalho, para o processo , temos:
Substituindo e colocando as temperaturas em função de , temos:
Agora para o processo , temos:
Passo 9
Ou seja, para o ciclo, teremos:
Passo 10
Para determinar em que fase o calor é fornecido, vamos pensar da segunte maneira. Sabemos que nos processos adiabáticos não há troca de calor. Portanto devemos analisar apenas os processos e . Nesses processos, não é realizado nenhum trabalho, ou seja:
Podemos ver que no processo , a pressão aumenta a volume constante, aumentanto a temperatura, ou seja, a energia interna do sistema aumenta, para que isso aconteça, calor deve ser fornecido ao sistema. Portanto na fase foi fornecido calor ao sistema.
No processo vemos que a pressão diminui a pressão constante, diminuindo assim a temperatura, ou seja, a energia interna do sistema diminui, desse modo o sistema está rejeitando calor.
Passo 11
Vamos ao que interessa, que é calcular o calor fornecido no processo :
Substituindo e colocando a temperatura em função de , temos:
Passo 12
Para calcular a eficiência da máquina, vamos relembra da fórmula para a eficiência:
Substituindo os valores, temos:
Passo 13
Nos processos adiabáticos, temos que a variação de entropia é zero:
Para o processo , temos:
Substituindo por ,temos:
Substituindo os valores, temos:
Passo 14
Para o processo , podemos fazer o mesmo procedimento, no entanto, sabendo que a variação de entropia do ciclo deve ser zero, teremos que:
Resposta
; ;
;
; ;
Exercício Resolvido #5
UFRJ – 1ª Prova – 2012.2
Num processo de expansão livre de um gás ideal isolado do ambiente:
A energia interna do gás aumenta e a entropia fica a mesma.
A energia interna e a entropia do gás ficam as mesmas.
A energia interna do gás diminui e a entropia fica a mesma.
A energia interna e a entropia do gás aumentam.
A energia interna do gás fica a mesma e a entropia aumenta.
A energia interna do gás diminui e a entropia aumenta.
A energia interna e a entropia do gás diminuem.
Passo 1
Numa expansão livre de um gás, não há realização de trabalho e nem há troca de calor. Então, a variação de energia interna é nula:
Passo 2
Bom, por causa disso, podemos escolher um processo auxiliar pra calcular a variação de entropia. Hã? Como assim?
Bem, como a entropia é uma função de estado, podemos calcular a variação de entropia por qualquer “caminho”, como costumamos fazer com a energia interna. Assim, podemos escolher um processo reversível entre os pontos finais e inicias pra calcular isso.
Bom, como a variação de energia interna é nula, qual processo você usaria?
Um processo isotérmico!!!!
Afinal, num processo isotérmico:
Passo 3
Beleza, então vamos usar um processo isotérmico. Num processo isotérmico, a variação de energia interna é nula, assim:
Então:
Usando a equação geral dos gases:
Então:
Pronto! Bom, como o volume final é maior que o inicial, temos que:
E
Então:
Alternativa
Resposta
Alternativa
Exercício Resolvido #6
PUC-RIO – 3ª Prova – 2011.1
Um gás ideal diatômico descreve o ciclo definido pelas seguintes etapas:
: processo a volume constante , desde a pressão até .
: expansão a pressão constante , do volume até .
: processo a volume constante , de até .
: compressão a pressão constante , de até .
Desenhe o ciclo num gráfico versus , sendo Pa e
Dado que o número de mols do gás é tal que , calcule a temperatura em cada vétice.
Obtenha o trabalho realizado pelo gás em cada ciclo.
Obtenha o calor trocado em cada etapa do ciclo, indicando se é recebido ou cedido pelo gás.
Calcule a eficiência de um motor térmico operando segundo o ciclo .
Calcule a variação de entropia da etapa e a variação de entropia no ciclo completo.
Passo 1
Vamos primeiro montar o gráfico de acordo com as informações dadas no enunciado:
Podemos ver claramente no gráfico as transformações a volume constante e a pressão constante.
Passo 2
Como temos o valor de e de , podemos achar a temperatura em cada vértice utilizando a lei dos gases ideais, lembre-se que
Vamos começar com o vértice :
Substituindo os valores, temos:
Passo 3
Vamos agora para o vértice :
Passo 4
Para o vértice , temos:
Passo 5
Para o vértice , temos:
Passo 6
Quando temos um ciclo, sabemo que o trabalho realizado é igual à área do retângulo , ou seja:
Passo 7
Para determinar o calor trocado em cada etapa, vamos recordar da equação para o calor a volume constante e a pressão constante, que são, respectivamente:
Lembrando que para um gás diatômico, temos:
Dito isso, podemos determinar o cator trocado em cada processo do ciclo!
Passo 8
Vamos começar com os processos a volume constante, vamos calcular primeiro e depois :
Para , temos:
Passo 9
Agora vamos calcular o calor trocado no processo a pressão constante, primeiro e depois :
Para , temos:
Perceba que em todas as contas desse item juntamos , pois já temos esse valor!
O sinal indica se o calor é recebido() ou cedido().
Passo 10
Para uma máquina térmica, temos que a eficiência é dada por:
Onde é o calor recebido pelo gás. Podemos calcular esse calor simplesmente somando os do item anterior!
Substituindo na fórmula da eficiência, temos:
Passo 11
Para calcular a entropia, vamos relembra da fórmula:
Substituindo pela fórmula usada em processos a pressão constante, visto que esse é processo entre e , temos:
Para um ciclo, temos que a entropia é zero:
Resposta
;
Exercício Resolvido #7
CEFET – 3ª Prova – Prof. Hilário
Um mol de um gás ideal monoatômico, inicialmente à pressão e temperatura de expande a partir de um volume inicial até . Durante a expansão a pressão e o volume do gás estão relacionados pela expressão:
Onde está em ·, e em unidades de , e . Determine:
A pressão final
A temperatura final
Qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão
Qual a variação de entropia do gás durante a expansão?(dica: Use dois processos reversíveis simples ligando os estados inicial e final para calcular a variação de entropia).
Dados:
Passo 1
Nós temos a função que rege a variação de Basta a gente aplicar os valores:
Então:
Passo 2
Vamos agora usar o Piviti-Povotó:
Usando os valores do enunciado e o valor da pressão da letra :
Passo 3
O trabalho realizado pelo gás é dado por:
Sendo que é uma função de ! Logo, a integral fica:
Resolvendo:
Aplicando os valores do enunciado:
Passo 4
Bom, como o próprio enunciado nos indicou, é melhor escolher processos reversíveis simples que liguem os pontos iniciais e finais para calcular a variação de entropia total.
Vamos escolher dois processos diferentes, calcular a variação da entropia de cada um e, no fim, soma-las, obtendo a variação total.
Vamos escolher primeiro um processo isotérmico. Usando a primeira lei:
Sendo , já que o processo é isotérmico, o que quer dizer que não há variação de temperatura e, logo, não há variação de energia interna. Então ficará:
Como o trabalho realizado pelo um gás numa transformação isotérmica é dado por:
Logo, o calor será:
Aplicando os valores do enunciado:
A variação de entropia é dada por:
Como é constante:
Logo:
Que é a nossa primeira variação de entropia. Vamos chama-la de .
Como há variação de temperatura, vamos tomar algum um processo isovolumétrico. A gente vai ver que nesse caso a variação da temperatura vai gerar a variação da entropia:
Nesse processo, o trabalho é igual a 0: , e o valor de é dado por:
Logo, a variação de entropia será:
Integrando em relação a :
Como o gás é monoatômico, , , e :
Pronto! A variação total será a soma das duas:
Resposta
Exercício Resolvido #8
PUC-RIO – 3ª Prova – 2011.1
Uma máquina térmica operando entre as temperaturas e rejeita
para a fonte fria uma quantidade de calor em um ciclo. Sua eficiência é igual a
da eficiência máxima (Carnot) para essas fontes.
Calcule a quantidade de calor fornecida pela fonte quente e o trabalho realizado em cada ciclo.
Qual deve ser a duraçãoo de cada ciclo para que a potencia média que a máquina entrega seja igual a ?
Essa mesma máquina é utilizada para alimentar um refrigeradore que retira, a cada ciclo (da mesma duraçãoo que o da máquina), uma certa quantidade de calor de um compartimento à temperatura , despejando no ambiente, a uma temperatura , uma quantidade de calor .
Faça um esquema do funcionamento do sistema composto,indicando com setas os fluxos de energia.
Sendo , obtenha o coeficiente de desempenho do refrigerador.
Calcule a variação de entropia do sistema [refrigerador compartimento a ambiente a ] após um ciclo. O resultado é compatível com a segunda lei da termodinâmica?
Passo 1
Como temos a eficiência da máquina, podemos determinar o calor recebido da fonte quente, assim como o trabalho realizado pelo ciclo somente pela equação de rendimento, se liga!
Vamos primeiro determinar a eficiência da máquina:
Sabendo que a eficiência máxima é a de um ciclo de Carnot, temos:
Passo 2
Agora que temos a eficiência, vamos calcular o calor recebido da fonte quente :
substituindo os valores, temos:
Para determinar o trabalho, temos:
Passo 3
Para determinar a duração do ciclo, vamos relembrar a definição de potência:
substituindo os valores que temos, podemos achat o tempo:
Se liga que o trabalho está em e a potência está em , por isso não multiplicamos por , pois iria cancelar de qualquer maneira!
Passo 4
Para os ciclos descritos, teremos o seguinte esquema:
Passo 5
Para um refrigerador, temos a seguinte definição de desempenho:
Para o nosso sistema, fica:
No entanto, precisamos determinar , para isso, fazemos:
Substituindo na equação do desempenho, temos:
Passo 6
Para calcular a entropia do sistema, vamos primeiro calcular a entropia de cada componente separadamente:
Vamos começar com a do refrigerador:
Como o refrigerador retorna ao seu estado inicial, a entropia é nula!
Passo 7
Para o compartimento a , temos:
Lembrando que como o calor é retirando do compartimento, teremos que a entropia é negativa!
Como sabemos que , fica:
Calma...a conta está correta...como tínhamos em , simplesmente multiplicamos o resultado final por !
Passo 8
Para o ambiente a , temos:
Lembrando novamente que passamos de para !
Passo 9
Para o sistema como um todo, temos:
Tal resultado não é compatível com a segunda lei da termodinâmica, pois a entropia total não pode ser negativa, ou sej anão pode diminuir.
Resposta
;
Não é compatível com a segunda lei da termodinâmica, pois .