Dilatação Térmica

Bom galera, nessa questão iremos lidar com a dilatação linear de uma barra. Usaremos, pra resolver esse problema, a equação:

Temos todas as informações! Precisamos apenas aplica-los na fórmula pra descobrir o valor do coeficiente:

Logo:

Pronto (:

Nesse problema, vamos lidar com uma dilatação volumétrica de uma esfera que, no caso, é a nossa Terra. Por isso, as fórmulas que vamos usar são as seguintes:

Volume de uma esfera:

E

E os dados que temos são:

Coeficiente de dilatação volumétrica médio:

A variação de temperatura :

Partiu resolver essa questão? (:

O que queremos saber nessa questão é quanto o raio da terra aumentou. O raio, antes do aquecimento, era , e, após o aquecimento, tornou-se . Isso causou um aumento de volume, certo? Se liga na figura:

A gente pode calcular a variação do volume assim:

Só que tanto quanto são volumes de esferas! Então a gente pode escrever a expressão acima dessa forma:

Simplificando a expressão acima:

Bom, temos tudo que precisamos. Vamos agora isolar totalmente na equação:

Substituindo os valores que temos:

Pronto (: Isso quer dizer que o raio da Terra aumentou em um fator de 1,026.

A questão quer saber o diâmetro final de um furo em uma placa de alumínio que sofreu uma variação de .

Como vimos na teoria, podemos tratar o furo com um corpo qualquer, então vamos aplicar a formula de dilatação superficial para descobirimos o diâmetro dinal do furo.

Lembrando que o problema nos fornece o coeficielte linear e por isso temos que achar o , como vimos na teoria

Como a área de um círculo é

Temos que a equação de dilatação superficial fica assim:

Cortando os termos possíveis de cortar e substituindo os valores que temos

Nessa questão temos dois materias sofrendo dilatação: a barra e a régua. Se fossem do mesmo material a medição da régua não mudaria. Vemos que a barra se expandiu mais que a régua, por isso aumentou de tamanhão segundo a régua, mas essa medida não é realmente quanto a barra dilatou, já que a régua também se expandiu.

Então para resolvermos esse problema temos que achar quanto a barra realmente se expandiu e assim podermos descobir o coeficiente linear da barra.

Para descobrir o quanto o tamanho da barra variou, precisamos descobrir quanto esses valem realmente.

Assim sabemos que esses “expandidos” na verdade valem

Agora sabemos quanto realmente a barra variou de tamanho

Vamos descobrir o valor de agora,

Isolando o temos

Substituindo os valores que já temos

O problema forneceu quanto aumentou o diâmetro da moeda, então não precisamos de mais nada para descobrir quanto variou a área da moeda, pois sabemos que

Como o diâmetro é

Se o diâmetro aumentou :

Temos que a nova área será igual a:

Assim podemos reescrever da seguinte forma

Desta forma vemos que o aumento de área foi de . O que faz sentido pois esse aumento é duas vezes o aumento percentual do diâmetro assim como o .

Admitindo que o material é homogêneo temos que a dilatação será a mesma em todas as direções e por isso o aumento percentual da espessura será de

Sabemos que o volume de uma moeda é e por isso podemos fazer que o aumento percentual de volume é o aumento da área mais o da espessura

A massa específica nesse caso é igual a densidade da moeda por que estamos considerando que é uma moeda homogênea.

A densidade inicial da moeda é dada por

E a densidade final da moeda é dada por

Já que a massa da moeda não muda!

Assim temos que

Ou seja, houve uma variação de na densidade dessa moeda.

A variação da massa específica dessa moeda é então

Como queremos o coeficiente de dilatação linear, temos que pegar algo que cresça em apenas uma dimensão, como a espessura, sabemos o quanto ela aumentou então com ela conseguiremos calcular o coeficiente linear de dilatação

Como

Temos que o coeficiente linear vale

Beleza, o que é preciso fazer pra que o cilindro fique frouxo no buraco? Bom, a área transversal do cilindro precisa ser menor que a área do buraco, certo?

Como os dois estão muito próximos, vamos considerar que eles possuem a mesma área. Depois, vamos usar a fórmula da dilatação em duas dimensões:

As duas áreas inicias, pras duas dilatações, são iguais e valem A gente pode escrever assim:

Ai vem o pulo do gato: Como eu disse, a área do buraco tem que ser maior. Assim, o plano precisa se dilatar mais que o cilindro não é mesmo?

Ou, se resfriarmos o conjunto, o cilindro tem que diminuir de tamanho mais rápido do que o plano certo?

Vamos pensar na primeira situação: Aumentando a temperatura. Assim:

Só que como:

Poooo, mas nós não queremos isso. Dizer isso é o mesmo que dizer que a área do cilindro aumentou mais que a área do buraco, então ele ficou mais é estrangulado.

E se diminuirmos a temperatura? A variação da temperatura será negativa, então:

No entanto, como:

Então:

Ou seja, o cilindro irá diminuir mais sua área que o furo do plano. Porque, afinal de contas, é isso que o coeficiente de dilatação diz: ele favorece a dilatação e faz com que o material se dilata, ou se contraia, com maior facilidade.

Então, precisamos diminuir a temperatura:

O problema quer saber a altura e para isso vamos precisar saber o tamanho final da barra, para que usando teorema de Pitágoras cheguemos na resposta.

Vamos lá então!

Para achar o tamanho da barra final, basta aplicar a equação que vimos na teoria

Como o problema forneceu todos os dados que precisamos, basta substituir na equação

Agora vamos fazer Pitágoras com uma das metades da barra quebrada, onde os dados são o seguintes

Com isso conseguiremos achar o valor da altura

Temos inicialmente a seguinte situação para os dois materiais:

Ambos estão a e o diâmetro da barra de aço é maior que o diâmetro interno do anel de latão:

O problema quer saber em qual temperatura é possível acontecer isso aqui:

Ou seja, pra qual temperatura a barra de aço se ajusta perfeitamente ao anel de latão, e isso pra nós quer dizer que seus diâmetros finais devem ser iguais.

Como eles são mantidos em equilíbrio térmico eles estão sempre a mesma temperatura.

Como o problema quer que o tamanho final dos diâmetro sejam iguais, vamos igualar essas medidas para chegarmos no resultado que ele deseja.

Estamos avaliando a dilatação em duas dimensões, então vamos usar a equação da dilatação superficial aqui e encontrar uma relação pro diâmetro. E como estamos lidando com esse tipo de dilatação usaremos o coeficiente de dilatação superficial .

Lembrando que:

Como estamos analisando uma área circular temos o seguinte:

Substituindo:

Cortando os semelhantes temos:

Como falamos, o problema quer a temperatura em que o diâmetro final dos objetos seja igual, então vamos igualar as equações da barra de aço e do anel de latão e encontrar primeiro a variação de temperatura.

Assim podemos igualar

Onde :

E como:

Podemos então substituir os nossos dados na equação:

Atenção pra arrendondar só no final, hein!

Abrindo a expressão temos:

Isolando o

Arredondando:

Caso você arredondasse antes poderia rolar uma diferença de +- , portanto no caso de dilatação temos que levar várias constantes conosco já que a ordem de grandeza é muito relevante.

Descobrimos para qual variação de temperatura vai ocorrer o fato da barra e o anel terem a mesma área, mas o problema que a temperatura final e não a variação e por isso vamos fazer:

Bom, essa é tranquila: Basta a gente saber usar a formulinha abaixo:

Queremos saber o , pra assim determinar o material. Show?

Vamos lá:

O enunciado nos diz que o comprimento aumenta . Bom, isso quer dizer, matematicamente:

Sacou? O aumento equivale à variação. E essa variação corresponde à do valor inicial. Agora só falta a gente substituir ali a variação de temperatura:

Olhando na tabela, vemos que o material é o cobre.

Bom, aqui a gente passa a ter que lidar com grandezas e variações de volume. A fórmula agora é:

Onde:

Beleza, mas queremos saber da densidade, certo? A densidade é definida como:

Vamos chamar de a densidade inicial e de a densidade final.

Então:

O pulo do gato é saber a relação entre e . Bom, de acordo com a equação da variação, podemos escrever:

Então, se fizermos a razão entre e

Show?

Bom, agora só fazer aquela continha que esta ali embaixo, lembrando que

Ou seja, a densidade final cai pra da densidade inicial. Podemos dizer então, que a densidade do liquido variou