Exercícios Resolvidos de Linearização

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Enunciado

Linearize a equação em torno de x = π 4

d 2 x d t 2 + d x d t + cos ⁡ x = 0  

Passo 1

O termo não linar da equação é o cos ⁡ x   e é com ele que trabalharemos. Sendo assim:

f x = cos ⁡ x

Para linearizar, utilizaremos como sempre a linearização de Taylor:

f x ≅ f x - + ∂ f ∂ x x - . x - x - 1 !

Passo 2

Vamos fazer termo a termo.

f x - = cos ⁡ x -

∂ f ∂ x x - =   - sen ⁡ x -

Substituindo na fórmula:

f x ≅ cos ⁡ x - - sen ⁡ x - x - x -

Passo 3

Agora devemos substituir x - por π 4

f x ≅ cos ⁡ π 4 - sen ⁡ π 4 x - π 4

Como:

cos ⁡ π 4 = 2 2

e

sen ⁡ π 4 = 2 2

f x ≅   2 2 - 2 2 x - π 4

Passo 4

Para finalizar, basta substituir a função encontrada na equação inicial:

d 2 x d t 2 + d x d t +   2 2 - 2 2 x - π 4 = 0

Resposta

d 2 x d t 2 + d x d t +   2 2 - 2 2 x - π 4 = 0