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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.7 - Ex. 127

127- Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga em balanço linearmente carregada, repetida aqui do Prob. 5/97. Determine o módulo máximo do momento fletor M .

Passo 1

Precisamos encontrar primeiro a reação no engaste A , e por ser um engaste precisamos saber que ela oferece resistência nos três eixos.

A força resultante causada por essa carga é a área do triângulo e é de:

F r = w 0 l 2

E a posição dessa força na viga é:

x - = 1 3 l

Passo 2

O que faz com que nossa viga equivalente seja:

Fazendo a somatória das forças verticais e igualando a zero nós teremos:

V = w 0 l 2

E o momento:

M + w o l 2 × l 3 = 0

M = - w o l 2 6

Passo 3

Agora estamos aptos a calcular uma equação que seja capaz de dizer como será a cortante ao longo de toda a viga e para isso iremos pegar uma largura de x e vamos calcular a cortante de forma generalizada dessa viga.

A primeira coisa que precisamos fazer para calcular essa equação de cortante e de momento é saber a equação da carga. Se tratarmos a carga como uma reta onde em x = 0 a reta possuit valor de w = w 0 e em x = l temos w = 0 , nós teremos a reta:

w = - w o l x + w o

Qualquer dúvida só aplicar os pontos na equação igual a y = m x + b .

Agora para calcular a cortante em x nós precisamos fazer a mesma coisa que fizemos do que fizemos para a viga toda, precisamos calcular a área da figura formada e somar com as forças verticais.

Somando as forças verticais nós teremos:

w 0 l 2 - ∫ - w 0 l x + w o - V = 0

V = w 0 l 2 - - w 0 x 2 2 l + w o x

V = + w 0 x 2 2 l - w 0 x + w o l 2

Essa equação assume em x = l uma cortante igual a zero.

Passo 4

Agora para fazer o somatório dos momentos podemos fazer:

- w 0 l 2 6 + ∫ w 0 x 2 2 l - w 0 x + w o l 2   d x - M = 0

Uma vez que o momento pode ser escrito genericamente como:

M = M 0 + ∫ V d x

- w 0 l 2 6 + w 0 x 3 6 l - w 0 x 2 2 + w 0 l x 2 = M

M = - w 0 l 3 6 l + w 0 x 3 6 l - 3 w 0 x 2 l 6 l + 3 w 0 l 2 x 6 l

M = - w 0 6 l l 3 + 3 x 2 l - 3 l 2 x - x 3

Essa equação assume o valor igual a 0 em x = l , é crescente em todo esse intervalo. Basta fazer sua primeira derivada e descobrir seu zero utilizando a equação do segundo grau, logo o maior momento que essa equação admitirá é:

| M m a x | = w o l 2 6

Resposta

| M m a x | = w o l 2 6

Diagrama da cortante:

Diagrama do Momento fletor:

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