Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 87
87- Uma casca fina, mostrada em seção, tem sua forma gerada pela revolução do arco por em torno do eixo . Determine a área superficial de um dos dois lados da casca.
Passo 1
Caso esteja em dúvida de como essa figura se comporta pense em algo parecido com isso:
E para calcular a área superficial formada por esse arco precisamos calcular a área superficial causada pela revolução pelo teorema de Pappus.
Passo 2
A área superficial causada pela revolução é dada por:
Onde é o comprimento do arco, seria o ângulo de rotação do arco (que no caso é a volta completa em torno do eixo e o centroide do arco em relação ao eixo de rotação.
Do exemplo 5/1 nós temos a solução do centroide de um arco circular (somente da linha) porém ele é relacionado ao centro do circulo . Precisamos fazer com que ele seja ao eixo de rotação .
Logo:
Passo 3
Agora precisamos encontrar o comprimento desse arco, e assim como temos o comprimento do círculo igual a:
Nós poderemos dizer que o comprimento normal de um setor de círculo é igual a:
Onde é o ângulo desse setor, que no caso da questão é de:
Logo o comprimento desse arco é:
Passo 4
Logo a área superficial desse arco será: