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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.7 - Ex. 131

131- Desenhe os diagramas e de momento para a viga linearmente carregada mostrada. Determine o módulo máximo do momento fletor M .

Passo 1

A área dessa carga triangular nos dá a força resultante equivalente na viga, o qual pode ser calculado pela área dos triângulos retângulos descritos abaixo.

Logo a área do triângulo 1 e do triângulo 2   tem áreas iguais a :

A 1 = w o × l 2 2

Logo a área total será:

F r = 2 × w 0 × l 2 2 = w 0 l 2

E como temos uma simetria entre essas duas áreas podemos dizer que a posição dessa força encontra-se no meio da barra.

x - = l 2

E por conta disso podemos de cara escrever que as reações nos dois apoios ( na qual chamarei de A para o apoio esquerdo e B para o direito) são iguais a:

R a = R b = w o l 4

Passo 2

Podemos começar a analisar a barra na seção de 0 < x < l / 2 :

Precisamos nessa caso encontrar a equação da carga nessa seção. Para x = 0 temos w = 0 agora para x = l / 2 existe w = w 0 , logo para uma carga linear temos uma equação.

w = a + m x

Para x = 0 temos a = 0 .

E para x = l / 2 temos:

w 0 = + m l 2 → m = 2 w 0 l

Logo a equação da carga será:

w = 2 w o x l

A equação da cortante será:

V = V 0 - ∫ w d x

Onde V 0 será o valor da cortante no começo da seção e ∫ w d x a área da carga que nos dará a cortante resultante. Logo:

V = w o l 4 - ∫ 0 x 2 w o x l d x = w o l 4 - w o x 2 l = w 0 l 4 - x 2 l

Onde no ponto de x = l / 2 nós teremos uma cortante igual a:

V = w 0 l 4 - l 2 4 l = 0

E o seu momento será:

M = M 0 + ∫ V   d x

M = 0 + w o l x 4 - x 3 3 l

E para x = l 2 nós teremos:

M = w 0 l l 2 4 - l 2 3 3 l = w 0 l 2 8 - l 3 24 l = w 0 l 2 12

Passo 3

Agora para a seção de l 2 < x < l :

Para encontrar a equação da carga precisamos saber que para x = l / 2 a função vale w 0 e para x = l a função vale 0 . Logo:

w = a + m x

Para x = l temos:

0 = a + m l

m = - a l

E para x = l / 2 :

w 0 = a - a l × l 2

w 0 = a - a 2 → a = 2 w 0

Logo a equação de carga será:

w = 2 w 0 - 2 w 0 l x

Com isso a cortante será:

0 - ∫ l / 2 x 2 w 0 - 2 w 0 x l

V = - 2 w 0 x - w 0 x 2 l l / 2 x

V = - 2 w 0 x - w 0 x 2 l - w 0 l + w 0 l 2 4 l

V = - w 0 2 x - l + w 0 l 2 - 4 x 2 4 l

Logo para x = l temos uma cortante igual a:

V = - w 0 l + w 0 - 3 l 2 4 l = - 4 w 0 l 2 - 3 w 0 l 2 4 l = - w 0 l 4

O que pela dificuldade pode se ver que o momento em x = l nós teremos o momento igual a 0. Por isso que é mais fácil analisar pelo lado direito da viga. Porém acabei por fazer por que essa questão pela simetria nos daria argumento o suficiente para não poder fazer por esse método.

Resposta

M m a x = w 0 l 2 12

Diagrama da cortante:

Diagrama do momento fletor:

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O cabo suporta a carga distribuida uniforme de w 0 = 12k N / m . Determine a tração no cabo em cada apoio A e B .
O cabo suporta a carga mostrada. Determine a distância horizontal x B que a força no ponto B atua a partir de A . Faça P = 200N .
O cabo suporta três cargas mostradas. Determine a intensidade de P 1 se P 2 = 1500N e y B = 2,4m . Determine também a flecha y D .
O cabo suporta três cargas mostradas. Determine as flechas y B e y D dos pontos B e D . Considere P 1 = 2000N , P 2 = 1250N .
Se os cilindros C e D pesam cada um 5k N , determine a flecha máxima h e o comprimento do cabo entre as polias lisas em A e B . A viga tem um peso por unidade de comprimento de 2k N / m .