Enunciado

133. A haste dobrada A B D E é apoiada por rótulas em A e E e pelo cabo D F . Se uma carga de 240   N é aplicada em C , tal como mostra a figura, determine a tração no cabo.

Passo 1

Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação E A , utilizando esse eixo as forças que atuam em A e E não exercem momento nesse eixo de rotação, então:

u E A → = r E A → r E A →

Onde r E A → é o vetor que sai do ponto E até o ponto A . Assim:

r E A → = { 0,175 i + 0 j - 0,6 k }

r A → = 0,175 2 + 0 2 + - 0,6 2

= 0,390625

= 0,625

Logo:

u E A → = { 0,175 i + 0 j - 0,6 k } 0,625

= { 0 , 28 i + 0 j - 0 , 96 k }

Também precisamos expressar a força de tração em sua forma vetorial, para termos as componentes de cada força em cada direção, para isso precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que a força de tração.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de D F é:

u D F → = - 0,4 i + 0 , 275 j - 0 , 2 k 0,525

u D F → = { - 0 , 761 i + 0 , 523 j - 0 , 380 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração do cabo D G :

T D F → = T D F u D F →

= - 0,761 T D F i + 0,523 T D F j - 0,380 T D F k

Passo 2

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento:

∑ M E A → = 0

u E A → ⋅ ( r E D → × T → ) + u E A → ⋅ ( r E C → × ( 0 i - 240 j + 0 k ) ) = 0

⇒ 0,28 0 - 0,96 0,4 0 0 - 0,761 T D F 0,523 T D F - 0,380 T D F + 0,28 0 - 0,96 0,4 0 - 0,35 0 - 240 0 = 0

Abrindo essa conta, temos:

⇒ 0,28 0 - 0 - 0 , 152 T D F - 0,96 0 , 209 T D F +

+ 0,28 - 84 - 0 0 - 0,96 - 96 = 0

⇒ - 0,2 T D F - 23,52 + 92,16 = 0

Então temos que:

0,2 T D F = 68,64

⇒ T D F = 343,2   N

Resposta

T D F = 343,2   N

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