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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 54

14.54. Para o jogo de bilhar do Problema 14.53, considere agora que v0 5 m/s, vC 3 m/s e c 1.200 mm. Determine (a) as velocidades vA e vB das bolas A e B, (b) o ponto Aonde a bola A atinge a lateral da mesa.

Passo 1

Já estamos na metade do capítulo, vamos lá!

Para resolver esse problema vamos usar conservação de momento linear.

∑ m i v i = ∑ m f v f

Para ficar mais organizado ainda, podemos escrever a equação de momento para cada eixo. Para o eixo i ^

m v 0 = m v B x + m v C    

Podemos cortar as massas

v 0 = v B x + v C

A gente sabe o valor de v 0 , é só olhar o enunciado

v 0 = 5   m s   v C = 3 m s

Então

v B x + 3 = 5

Logo

v B x = 2 m s

Passo 2

E para o eixo j ^

0 = - m v A + v B y  

m v A = m v B y

A gente pode cortar as massas

v A = v B y

Passo 3

A gente ainda não encontrou a resposta, mas temos mais uma coisa pra usar, a equação da conservação de energia

∑ 1 2 m v i 2 = ∑ 1 2 m v f 2

Para este caso

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v A 2 + v B 2 + v C 2

Podemos cortar 1 2   m

v 0 2 = v A 2 + v B 2 + v C 2

Vamos escrever v B 2 como v B x 2 + v B y 2 , e vamos substituir v B y por v A

v 0 2 = v A 2 + v B x 2 + v A 2 + v C 2

v 0 2 = v B x 2 + 2 v A 2 + v C 2

E agora vamos substituir os valores que conhecemos

5 2 = 2 2 + 2 v A 2 + 3 2

E aí ficamos com

2   v A 2 = 12

v A = 6 = 2,45 m s

Passo 4

Podemos calcular também o valor de v B y , já que

v A = v B y

v B y = 2,45 m s

Então podemos fazer

v B = v B x 2 + v B y 2

v B = 2 2 + 2,45 2 = 3,16 m s

Passo 5

Só falta determinar o ângulo, mas isso não vai ser difícil, a gente tem o módulo de v B e v B x , isso significa que temos esse triângulo:

Então a gente pode determinar θ usando

cos ⁡ θ = v B x v B = 2 3,16

θ = arccos ⁡ 2 3,16 = 50,8 °

E isso conclui o item (a)

Passo 6

Mas a questão ainda não acabou, agora vamos para o item (b). Precisamos determinar o ponto C.

Chegou a hora de usar conservação do momento angular.

∑ r i × m v i = ∑ r f × m v f

Isso vai ficar

r A → × m   v 0 → = a → × m - v A → + r B → × m v B → + c → × m v C →

Olha pra imagem. A gente pode ver que a componente em i ^ da velocidade v B → está em paralelo com o vetor r B → , então a gente pode desprezar essa componente e reescrever equação assim

r A → × m   v 0 → = a → × m - v A → + r B → × m v B y → + c → × m v C →

Agora todos os vetores velocidades estão perpendiculares aos seus respectivos vetores posição, então a gente pode reescrever a equação assim

r A → ⋅ m   v 0 → = a → ⋅ m - v A → + r B → ⋅ m v B y → + c → ⋅ m v C →

Podemos cortar as massas

r A → ⋅   v 0 → = a → ⋅ - v A → + r B → ⋅ v B y → + c → ⋅ v C →

Passo 7

Agora a gente tem a expressão montada, então vamos substituir os valores que conhecemos, olhando na imagem a gente sabe que

r A → = 750   m m = 0,75   m

r B → = 1800   m m = 1,8 m

E do enunciado sabemos que

c → = 1200   m m = 1,2   m

v 0 = 5 m s

v C = 3 m s  

E do item (a) sabemos que

v B y = 2,45 m s

v A = 2,45 m s

Vamos substituir isso na equação

r A → ⋅   v 0 → = a → ⋅ - v A → + r B → ⋅ v B y → + c → ⋅ v C →

( 0,75 ) ⋅ ( 5 ) = a → ⋅ - 2,45 + 1,8 ⋅ 2,45 + ( 1,2 ) ⋅ ( 3 )

Isso vai ficar

a → = 1,74   m

Resposta

a : v A = 2,45   m s ; θ = - 90 °                   v B = 3,16 m s ; θ = 45 ° b : C = 1,74   m

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