15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

(a) Agora, dado que temos os valores de , e , vamos encontrar as tensões principais como pede o enunciado:

Sabemos que a fórmula das tensões principais tem a seguinte cara:

Bora, então, substituir os valores numéricos de cada variável que a gente já sabe, como foi descrito no :

Vamos obter duas tensões, uma máxima e outra mínima . Voltemos aos nossos cálculos, para obter o resultado.

Agora, vamos tratar de encontrar o ângulo, em que nosso elemento vai estar orientado no plano. Sabe-se que a fórmula dele é dada por:

Bem! Já conhecemos o valor de , e . Só falta substituí-los na fórmula do nosso ângulo:

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal mínima , como pode-se ver na imagem abaixo:

Mas e o outro ângulo, responsável pela tensão principal máxima ?

Aí é so lembrar que os dois ângulos estão relacionado por . Basta então, subtrair de , para obter o valor de :

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal máxima

(b) Esse letra é meio curiosa, porque já resolvemos ela praticamente inteira na letra (a). Quer ver só?

A fórmula da tensão de cisalhamento máximo no plano, é dada pela letra e igual a:

Viu só, fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi, trocando os valores numéricos adequados, igual a:

E a tensão normal média? Também já resolvemos ela na letra (a). Se não acredita, veja só!

Agora só falta, encontrar o ângulo de cisalhamento no plano. Sabemos que ele tem a seguinte cara:

Vamos substituir os valores numéricos adequados e encontrar nosso ângulo:

Se fossemos representar esse ângulo de cisalhamento em um plano, juntamente com a tensão cisalhante máxima e a tensão normal média iríamos obter a seguinte imagem:

Para encontrar o nosso outro ângulo de cisalhamento , basta somar , que é negativo, com .