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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 139

15.139. As rodas fixadas às extremidades da barra AB rolam ao longo das superfícies mostradas na figura. Usando o método da Seção 15.9 e sabendo que a aceleração da roda B é zero, deduza uma expressão para a velocidade angular da barra em termos de v B , θ ,   l   e   β

Passo 1

Vamos começar mais uma! A imagem nos dá um triângulo:

Se a gente usar o teorema de Tales, podemos fazer

Passo 2

Agora temos um triângulo para trabalhar, vamos usar a lei dos senos

d B sin ⁡ θ = l sin ⁡ β

Então

d B = l sin ⁡ θ sin ⁡ β  

Mas temos que

v B = d d t d B

Então

v B = d d t l sin ⁡ θ sin ⁡ β  

Passo 3

Resolvendo a derivada

v B = d d t l sin ⁡ θ sin ⁡ β  

Vamos começar tirando as constantes

v B = l sin ⁡ β d d t sin ⁡ θ  

Agora vamos usar a regra da cadeia

v B = l sin ⁡ β d d θ sin ⁡ θ   d θ d t  

Isso fica

v B = l sin ⁡ β cos ⁡ θ   ω

Logo

ω = v B sin ⁡ β l cos ⁡ θ

Passo 4

Agora sabemos que

a B = d v B d t = 0

E temos também que

α = d ω d t

Logo

α = d d t v B sin ⁡ β l cos ⁡ θ

Vamos resolver essa derivada

α = sin ⁡ β l d d t v B cos ⁡ θ

Vamos usar a regra do quociente

α = sin ⁡ β l d d t v B ⋅ cos ⁡ θ - v B ⋅ d d t cos ⁡ θ   cos 2 ⁡ θ

A gente já resolveu que

d d t v B = 0

E a outra derivada podemos usar regra da cadeia

d d t cos ⁡ θ = d d θ cos ⁡ θ ⋅ d θ d t

Então

d d t cos ⁡ θ = - sin ⁡ θ ⋅ ω

Logo

α = sin ⁡ β l d d t v B ⋅ cos ⁡ θ - v B ⋅ d d t cos ⁡ θ   cos 2 ⁡ θ

α = sin ⁡ β l v B ⋅ sin ⁡ θ ⋅ ω   cos 2 ⁡ θ

Agora substituímos o valor de ω

α = sin ⁡ β l v B ⋅ sin ⁡ θ   cos 2 ⁡ θ   v B sin ⁡ β l cos ⁡ θ

Isso fica

α = v B sin ⁡ β l 2 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ  

Resposta

α = v B sin ⁡ β l 2 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ  

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