25. Um bloco de madeira falhará, se a tensão de cisalhamento que age ao longo da fibra for 3,85   M P a . Se a tensão normal σ x = 2,8   M P a , determine a tensão de compressão σ y necessária para provocar ruptura.

norma, determine a tensão de compressão

Passo 1

Fala! Da figura acima, tiramos que:

σ x = 2,8   M P a

Já que temos tração.

σ y =   ?

Mas repara que as setinhas estão entrando, então essa tensão deve ser negativa. E:

τ x y = 0   M P a

Ele quer que a gente ache σ y para que esse elemento tenha uma ruptura, sabendo que essa ruptura acontece por cisalhamento na direção do ângulo mostrado.

Vamos precisar relacionar σ y com a tensão de cisalhamento do elemento rotacionado. Essa a gente considera que é a tensão que causa ruptura, então τ x ' y ' = 3,85   M P a .

A gente precisa começar achando o ângulo de rotação para esse novo elemento. Vamos lá!

Passo 2

Para que o nosso cisalhamento esteja na direção das fibras, as faces do nosso elemento precisam estar paralelas as fibras. Na figura ele nos deu a orientção dessas fibras. Ficamos então com algo assim:

Dessa ilustração, podemos tirar o valor do ângulo θ , que vamos usar em nossos cálculos. Veja bem! O eixo x ' , vai estar deslocado de um ângulo tal no sentido anti-horário, no valor de 58 ° . Como é no sentido anti-horário, ele é positivo.

Agora, dado que a questão já nos fornece o valor da tensão de cisalhamento τ x ' y ' no elemento rotacionado, igual a 3,85   M P a , vamos usar a transformação de tensão cisalhante para encontrar σ y .

Passo 3

A fórmula da tensão cisalhantes é dada por:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

Substituímos, então os valores numéricos pertinentes a cada variável, para encontrar σ y .

θ = 58 °

3,85   M P a = - 2,8 M P a - σ y 2 sen ⁡ ( 116 ° ) ⁡  

3,85   M P a sen ⁡ ( 116 ° ) ≅ - 2,8   M P a - σ y 2

- 4,284   M P a ≅ - 1,4   M P a + σ y 2

- 1,4   M P a + σ y 2 ≅ - 4,284   M P a

σ y 2 ≅ - 2,884   M P a

σ y ≅ - 5,768   M P a

Resposta

σ y ≅ - 5,768   M P a

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