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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 28

28. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A - 36 , cada uma com seção transversal circular. Se cada haste tiver diâmetro de 20   m m , determine a maior carga que o mecanismo pode suportar sem provocar flambagem em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das hastes estão acopladas por pinos.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o diagrama de forças para o ponto B :

E fazer o somatório de forças:

↑ + ∑ F y = 0 → - P + F A B c o s 45 ° + F B C c o s ( 30 ° ) = 0

3 2 F B C = P - F A B 2 2

F B C = 2 3 30   P - F A B 2 2

∴ F B C = 2 P - 2 F A B 3   ( I )

→ + ∑ F x = 0 → F A B s e n 45 ° - F B C s e n ( 30 ° ) = 0

1 2 F B C = 2 2 F A B

∴ F B C = 2 F A B   ( I I )

Igualando as equações ( I ) e ( I I ) :

2 F A B = 2 P - 2 F A B 3   → 6 F A B = 2 P - 2 F A B

6 F A B + 2 F A B = 2 P → ( 6 + 2 ) F A B = 2 P

F A B = 2 P 6 + 2

∴ F A B = 0,518 P

F B C = 2 ⋅ 0,518 P

∴ F B C = 0,732 P

Passo 2

Conhecida as forças em ambas hastes, vamos calcular primeiro a carga máxima para que não haja flambagem na haste A B e depois para a haste B C .

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

Como as extremidades estão presas por pinos, temos k = 1 .

O momento de inércia de uma seção circular, é dado pela fórmula:

I = π 4 r 4

E temos, também, por ser dado no enunciado que é um aço A - 36 :

E = 200 × 10 9   P a

Para o valor de L , faremos:

L = 3,6 c o s ⁡ ( 45 ° )

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,01 4   m 4 ) ( 1 × 3,6 c o s ⁡ ( 45 ° )   m ) 2

P c r = F A B = 0,518 P

0,518 P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,01 4   m 4 ) ( 1 × 3,6 c o s ⁡ ( 45 ° )   m ) 2

P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,01 4   m 4 ) ( 1 × 3,6 cos ⁡ 45 °   m ) 2 × 0,518

∴ P = 1,16   k N

Passo 3

Vamos calcular a tensão devido à força crítica σ c r para verificar se ele ultrapassa a tensão de escoamento σ e :

σ c r = P c r A

σ c r = 0,518 × 1,16   k N π × 0,01 2   m 2

∴ σ c r = 1,9   M P a

σ c r = 1,9   M P a < σ e = 250   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível elemento.

Passo 4

Como já a carga máxima suportada pela haste A B para que não haja flambagem, vamos calcular para a haste B C :

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

E o valor de L será:

L = 3,6 c o s ( 30 ° )

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,01 4   m 4 ) ( 1 × 3,6 c o s ⁡ ( 30 ° )   m ) 2

P c r = F B C = 0,732 P

0,732 P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,01 4   m 4 ) ( 1 × 3,6 c o s ⁡ ( 30 ° )   m ) 2

P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,01 4   m 4 ) ( 1 × 3,6 cos ⁡ 30 °   m ) 2 × 0,732

∴ P = 1,22   k N

Passo 5

Finalmente calcular a tensão devido à força crítica σ c r para verificar se ele ultrapassa a tensão de escoamento σ e :

σ c r = P c r A

σ c r = 1,22   k N π × 0,01 2   m 2

∴ σ c r = 2,86   M P a

σ c r = 2,86   M P a < σ e = 250   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível elemento.

Resposta

Devido a carga máxima suportada para que não haja flambagem seja menor para a haste A B , ela que deve ser considerada:

P = 1,16   k N

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