Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 41
41. A treliça mostrada na figura consiste em 18 elementos e é sustentada por uma rótula em , duas pequenas hastes de conexão em e uma pequena haste de conexão em Verifique se essa treliça é uma treliça simples, se é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas. Para o carregamento dado, determine a força em cada um dos seis elementos unidos em .
Passo 1
Para saber se uma treliça é simples, temos que ver se a treliça que temos pode ser construída, se adicionarmos dois elementos novos, e se esses elementos forem interligados por um novo nó e ligados a nós já existentes, se ela puder ser construída assim, ela será uma treliça simples.
Uma condição que temos para saber se a treliça é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas, é seguinte equação ser satisfeita:
Onde é o número de membros da treliça e é o número de nós.
Pelo o que o enunciado nos falou que em tem uma rótula, então temos forças perpendiculares, em como só temos uma haste então só temos uma força na direção e em temos duas hastes logo temos uma força direção e na direção .
Vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação ao ponto , pois assim as forças de reação de não contribuem para o cálculo do momento.
Então vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação ao sistema inteiro, assim achando as forças de reação em .
Tendo feito isso tudo podemos analisar cada ponto da treliça para achar as forças em cada membro, para aí sim caminharmos para achar as forças dos membros que se juntam em .
Passo 2
Então vamos ver se a treliça é simples, vamos considerar o membro e vamos partir dele para a montagem da nossa treliça.
A parti disso podemos adicionar os membros e , se juntando em . Agora vamos adicionar os membros e , se juntando em . Adicionando os membros e , se juntando em . Estamos quase lá, só falta adicionar os membros e , se juntando em . Então conseguimos construir nossa treliça da forma como foi descrita no passo , logo nossa treliça é simples.
Agora através da fórmula mencionada no passo vamos verificar se a treliça é completamente vinculada e se as reações em seus apoios são estaticamente determinadas.
No nosso caso, temos e , então:
O que é verdadeiro, logo temos essas duas características verificadas na nossa treliça.
Passo 3
Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento em relação a .
Então temos que:
Ficamos com:
Passo 4
Então vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação ao sistema inteiro.
Passo 5
Agora, vamos analisar dois pontos que são os necessários antes de analisarmos o ponto , vamos analisar o ponto e o ponto .
Começando com o ponto , vamos analisar apenas na direção já que é nessa direção que tem um membro que liga e :
Agora vamos analisar o ponto , vamos analisar apenas na direção já que é nessa direção que tem um membro que liga e :
Passo 6
Antes de analisar o ponto , vale notar que as forças e , como fazem parte de membros de força zero, logo:
Analisando o ponto usando a equação de equilíbrio referente a força:
Escrevendo as forças em sua forma vetorial:
Substituindo essas forças na equação mais acima, temos:
Logo, temos:
Da segunda equação, ficamos com:
Da terceira equação, temos:
Resposta
A nossa treliça é simples, é completamente vinculada e as reações em seus apoios são estaticamente determinadas.