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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 149b

N o   P r o b . 4.148 . determine:

  1. Os correspondentes valores das tensões em A, B, C e D.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M x = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   x

x   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I x x = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Sabemos que os momentos são dados por:

M z = - P r C o s θ

M x = - P r S e n θ

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Se definirmos a seção dessa seguinte maneira:

Teremos que:

A = b h

I x x = h b 3 12

I z z = b h 3 12

Como queremos a tensão em B, precisamos das coordenadas X e Z do ponto B, sendo assim teremos que:

Substituindo nas tensões teremos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ B = - P b h + - P r C o s θ   . h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   . b 2 h b 3 12

σ B = - P b h - 12 P r C o s θ   . h 2 b h 3 + 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ B = - P b h - 6 P r C o s θ b h 2 + 6 P r S e n θ h b 2

Substituindo teremos que:

P = 4   k N = 4000   N

b = 150   m m

h = 200   m m

r = 125   m m

E lembra que pelo item A) já sabemos que o ângulo máximo que temos é dado por:

θ = 53,1 °

σ B = - 4000 150   .     200 - 6   .     4000   .   125   .     C o s 53,1 150   .     200 2 + 6   .     4000   .     125   .     S e n 53,1 200   .     150 2 = 0,01 N m m 2

σ B = 100   k P a

Passo 3

Para o ponto A temos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ A = - P b h + - P r C o s θ   . - h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   .   b 2 h b 3 12

σ A = - P b h + 12 P r C o s θ   . h 2 b h 3 + 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ A = - P b h + 6 P r C o s θ b h 2 + 6 P r S e n θ h b 2

Substituindo teremos que:

P = 4   k N = 4000   N

b = 150   m m

h = 200   m m

r = 125   m m

θ = 53,1 °

σ A = - 4000 150   .     200 + 6   .     4000   .   125   .     C o s 53,1 150   .     200 2 + 6   .     4000   .     125   .     S e n 53,1 200   .     150 2 = 0,700 N m m 2

σ A = 700   k P a

Passo 4

Para o ponto D temos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ D = - P b h + - P r C o s θ   .   h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   .   - b 2 h b 3 12

σ D = - P b h - 12 P r C o s θ   .   h 2 b h 3 - 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ D = - P b h - 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

Substituindo teremos que:

P = 4   k N = 4000   N

b = 150   m m

h = 200   m m

r = 125   m m

θ = 53,1 °

σ D = - 4000 150   .     200 - 6   .     4000   .   125   .     C o s 53,1 150   .     200 2 - 6   .     4000   .     125   .     S e n 53,1 200   .     150 2 = - 0,967 N m m 2

σ D = - 9 67   k P a

Passo 5

Para o ponto C temos que:

Substituindo nas tensões teremos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ C = - P b h + - P r C o s θ   . - h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   . -   b 2 h b 3 12

σ C = - P b h + 12 P r C o s θ   . h 2 b h 3 - 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ C = - P b h + 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

Substituindo teremos que:

P = 4   k N = 4000   N

b = 150   m m

h = 200   m m

r = 125   m m

θ = 53,1 °

σ C = - 4000 150   .     200 + 6   .     4000   .   125   .     C o s 53,1 150   .     200 2 - 6   .     4000   .     125   .     S e n 53,1 200   .     150 2 = - 0,367 N m m 2

σ C = - 367   k P a

Resposta

σ A = 700   k P a

σ B = 100   k P a

σ C = - 367   k P a

σ D = - 967   k P a

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