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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 112

Uma coluna curta é feita pregando-se quatro pranchas de 25,4   x   101,6   m m a um tarugo de madeira com 101,6   x   101,6   m m . Determine a maior carga de compressão que pode ser aplicado no topo dessa coluna, como mostra a figura, se:

  1. A coluna for como o que foi descrito,
  2. A prancha 1 for removida
  3. As pranchas 1 e 2 forem removidas,
  4. As pranchas 1,2 e 3 forem removidas e se,
  5. Todas as pranchas forem removidas.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a máxima tensão de compressão, e sabemos que a fórmula é dada por:

σ x = P A - M y I

Para o item A) deseja-se saber a tensão normal que age na nossa prancha, olhado o perfil teremos que:

Como a carga de 70   k N está centrada no perfil 5, e o nosso perfil é simétrico nas duas direções, com isso teremos que o momento fletor será zero, já que não temos excentricidade, sendo assim a nossa fórmula é dada por:

σ x = P A

Calculando a área teremos que:

A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

A = 25 , 4 x 10 1,6 + 25 , 4 x 10 1,6 + 25 , 4 x 10 1,6 + 25 , 4 x 10 1,6 + 10 1,6 x 10 1,6 = 20645,12   m m 2

Substituindo teremos que:

σ x = P A = - 71,2   .     1000   N 20645,12   [ m m 2 ] = - 3,45 N m m 2 = - 3 , 45   M P a

Passo 2

Para o item B) faremos o mesmo cálculo, mas iremos tirar a prancha 1, sendo assim teremos que a nossa seção será:

Como a seção é assimétrica, precisamos determinar a LN.

  • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:

  • As áreas são:

    • Calculando a área temos que:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

    • y - = ∑ A i y - i ∑ A i

    Com isso teremos que:

    y - = A 2 y - 2 + A 3 y - 3 + A 4 y - 4 + A 5 y - 5 A 2 + A 3 + A 4 + A 5

    Substituindo teremos que:

    y - = 25 80,64   .   114,3 + 25 80,64   .     50 , 8   + 25 80,64   .     50 , 8 + 10322,56   .     50 , 8 25 80,64 + 25 80,64 + 25 80,64 + 10 322,56

    y - = 59,87   m m  

    E assim temos que:

    Passo 3

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

    • I

      Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

      • Numeração das regiões

        • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

      • Área das regiões

      • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

      • Momento de inércia de cada região

      • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

      I = ∑ I i + A i d i 2

      Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

      I = I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2 + I 4 + A 4 d 4 2 + I 5 + A 5 d 5 2

      I = 138744 + 25 80,64   .     5 4,43 2 + 2219901 + 25 80,64   .     9,07 2 + 2219901 + 2580,64   .     9,07 2 + 8879604 + 10322,56   .     9,07 2

      I = 22377395   m m 4

      Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

      Passo 4

      Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

    • y - positivo e negativo

      • E para calculo de momentos fletores temos que usar a excentricidade :

      M = - 712 00   x   9,07 = - 645784   N m

      Como o momento está na direção negativa, devemos usar os valores de y inferirores para temros o máximo de tesnões de compressão, sendo assim teremos que:

      σ x = - 71200 2580,64 + 2580,64 + 2580,64 + 10322,56 - - 645784   .   - 59,87 22377395 = - 5,67 N m m 2

      σ x = - 5 , 67   M P a

      Passo 5

      Para o item C) deseja-se saber a tensão normal que age na nossa prancha, olhado o perfil teremos que:

      Como a carga de 7 1,2   k N está centrada no perfil 5, e o nosso perfil é simétrico nas duas direções, com isso teremos que o momento fletor será zero, já que não temos excentricidade, sendo assim a nossa fórmula é dada por:

      σ x = P A

      Calculando a área teremos que:

      A = A 3 + A 4 + A 5

      A = 25 , 4 x 10 1,6 + 25 , 4 x 10 1,6 + 10 1,6 x 10 1,6 = 15483,84   m m 2

      Substituindo teremos que:

      σ x = P A = - 7 1,2   .     1000   N 15483,84   [ m m 2 ] = - 4,60 N m m 2 = - 4,6 0   M P a

      Passo 6

      Para o item d) faremos o mesmo cálculo, mas iremos tirar a prancha 1,2 e 3, sendo assim teremos que a nossa seção será:

      Se girarmos a seção para facilitar a visualização do cálculo, teremos que:

      Como a seção é assimétrica, precisamos determinar a LN.

    • Vamos dividir em seções mais simples, e numerar elas:

    • As áreas são:

      • Calculando a área temos que:

    • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

    • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

    y - = ∑ A i y - i ∑ A i

    Com isso teremos que:

    y - = A 4 y - 4 + A 5 y - 5 A 4 + A 5

    Substituindo teremos que:

    y - = 25 80,64   .   114,3   + 10 322,56   .     50 , 8 25 80,64 + 10 322,56

    y - = 63,5   m m  

    E assim temos que:

    Passo 7

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 4 + A 4 d 4 2 + I 5 + A 5 d 5 2

    I = 138744 + 25 80,64   .     50 , 8 2 + 8879604 + 10 322,56   .     12 , 7 2

    I = 17342977   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 8

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E para calculo de momentos fletores temos que usar a excentricidade :

M = - 712 00   x   12 , 7 = - 904240   N m

Como o momento está na direção negativa, devemos usar os valores de y inferirores para temros o máximo de tesnões de compressão, sendo assim teremos que:

σ x = - 71200 25 80,64 + 10 322,56 - - 904240   .   - 6 3 , 5 17342977 = - 8,83 N m m 2 = - 8 , 83   M P a

Passo 3

Para o item e) deseja-se saber a tensão normal que age na nossa prancha, olhado o perfil teremos que:

Como a carga de 70   k N está centrada no perfil 5, e o nosso perfil é simétrico nas duas direções, com isso teremos que o momento fletor será zero, já que não temos excentricidade, sendo assim a nossa fórmula é dada por:

σ x = P A

Calculando a área teremos que:

A = A 5

A = 10 1,6 x 101,6 = 10322,56   m m 2

Substituindo teremos que:

σ x = P A = - 71,2   .     1000   N 10322,56   [ m m 2 ] = - 6,90 N m m 2 = - 6,90   M P a

Resposta

  1. σ x = - 3 , 45   M P a

  2. σ x = - 5 , 67   M P a

  3. σ x = - 4,6 0   M P a

  4. σ x = - 8 , 83   M P a

  5. σ x = - 6,90   M P a
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