Enunciado

43. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões principais desenvolvidas no ponto A e no ponto B , localizado imediatamente à esquerda da carga de 20   k N . Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos.

Passo 1

Vamos primeiro, então, montar os diagramas de corpo livre da viga:

E realizar o somatório de momentos em relação ao pino e forças horizontais e verticais em relação ao pino no lado esquerdo:

↶ + ∑ M = 0

- 20   k N × 2   m - 4 × R = 0  

R = 10   k N ⋅ m

→ + ∑ F x = 0

F x - 10   k N = 0  

F x = 10   k N

↑ + ∑ F y = 0

F y - 20   k N + 10   k N = 0  

F y = 10   k N

Feito isso, vamos fazer o diagrama de esforço cortante e momento fletor a partir do lado esquerdo da viga e com o corte no ponto A ou (ou B ):

Agora é só a gente fazer a análise dos esforços cortantes e momento fletor:

↶ + ∑ M = 0

M - 10   k N × 2   m = 0  

M = 20   k N ⋅ m

→ + ∑ F x = 0

10   k N - N = 0  

N = 10   k N

↑ + ∑ F y = 0

10   k N - V = 0  

V = 10   k N

Passo 2

Como calculamos os resultados comuns aos dois pontos que pede o enunciado, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Vamos calcular a tensão no ponto A , lembrando que a fórmula do momento polar de inércia de um retângulo é 1 12 ( b h 3 ) onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo e que o valor de “ y A ” é a distância da linha neutra da seção transversal até o ponto:

σ A = - N A + M y A I

σ A = - 10 × 10 3   N ( 0,1   m ) ( 0,2   m ) - 20 × 10 3   N ⋅ m 0,1   m 1 12 ( 0,1   m ) ( 0,2   m ) 3

σ A ≅ 29,5   M P a   ( T r a ç ã o )

E também a tensão máxima de cisalhamento no ponto A :

τ A = V Q A I t

Como Q A = 0 :

τ A = 0   M P a

Passo 3

Com isso, a gente vai calcular agora, as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Essa fórmula nos fornece duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 = 29 , 5   M P a + 0   M P a 2 + 29 , 5   M P a - 0   M P a 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 1 = 14,75   M P a + 14,75   M P a

σ 1 = σ y = 0   M P a

σ 2 = 29,5   M P a + 0   M P a 2 - 29 , 5   M P a - 0   M P a 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 2 = 14,75   M P a - 14,75   M P a

σ 2 = σ x = 29,05   M P a

Passo 4

Enfim, vamos achar o ângulo θ p que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ p = τ x y σ x - σ y / 2

t g 2 θ p = ( 0   M P a ) ( 29,05   M P a ) - ( 0   M P a ) / 2

t g 2 θ p = 0

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ p = 0

θ p = θ p 1 = 0 °

Esse ângulo é quanto um dos eixos está deslocado. Para achar o outro, devemos somar noventa graus com o primeiro:

θ p 2 = 0 ° + 90 ° = 90 °

Isso indica que nenhum dos eixos estão deslocados em relação aos eixos originais.

Passo 5

Aqui, vamos repetir todos os passos anteriores para o ponto B .

Primeiro, o cálculo da tensão no ponto B :

σ B = - N A + M y B I

σ B = - 10 × 10 3   N 0,1   m 0,2   m + 3 × 10 3   N ⋅ m 0   m 1 12 ( 0,15   m ) ( 0,375 m ) 3

σ B ≅ - 0,5   M P a   ( C o m p r e s ã o )

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

τ B = V Q B I t

τ B = 10 × 10 3   N 0,05 × 0,1 × 0,1     m 3 1 12 0,15   m 0,375   m 3 × ( 0,1   m )

τ B ≅ 0,75   M P a

Passo 6

E agora, o cálculo das tensões principais no ponto B , pela fórmula:

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Novamente obtemos duas tensões, uma máxima σ 1 e uma mínima σ 2 :

σ 1 = ( - 0,5     M P a ) + ( 0   M P a ) 2 + ( - 0,5   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 0,75   M P a ) 2

σ 1 ≅ - 0,25   M P a + 0,791   M P a

σ 1 ≅ 0,541   M P a

σ 2 = ( - 0,5     M P a ) + ( 0   M P a ) 2 - ( - 0,5   M P a ) - ( 0   M P a ) 2 2 + ( - 0,75   M P a ) 2

σ 2 ≅ - 0,25   M P a - 0,791   M P a

σ 2 ≅ - 1,04   M P a

Passo 7

Agora, vamos achar o ângulo θ p que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ p = τ x y σ x - σ y / 2

t g 2 θ p = ( - 0,75   M P a ) ( - 0,5   M P a ) - ( 0   M P a ) / 2

t g 2 θ p = 3

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ p = 3

θ p 1 = θ p ≅ 35,8 °

Esse ângulo é quanto um dos eixos está deslocado. Para achar o outro, devemos somar noventa graus com o primeiro ângulo θ p 1 :

θ p 2 ≅ 35,8 ° + 90 ° = 125,8 °

Resposta

Tensões principais no ponto A :

σ 1 ≅ 0   M P a

σ 2 ≅ 29,05   M P a

Tensões principais no ponto B :

σ 1 ≅ 0,541   M P a

σ 2 ≅ - 1,04   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:(a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação
18. A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine as tensões principais desenvolvidas na barra.
20. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão de cisalhamento no plano a - a e as tensões principais no ponto.
21. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão normal σ b e as tensões principais no ponto.
19. Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvidas no aço.