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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 91

91. Se M 1 = 500   N ⋅ m , M 2 = 600   N ⋅ m e M 3 = 450   N ⋅ m , determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados do momento de binário resultante.

Passo 1

Para somar esses momentos de binários temos eu decompor eles em suas componentes x , y e z para assim somar as componentes e obter o momento resultante, mas como vamos encontrá-lo na forma vetorial teremos que calcular seu módulo para achar a intensidade.

Para encontrar os ângulos diretores temos que lembrar que eles são determinados através da formulação de um vetor unitário e as componentes desse vetor representam os cossenos dos ângulos diretores. Pode ser visto da seguinte maneira:

u → = F → F = F x F i + F y F j + F z F k

= cos ⁡ α i + cos ⁡ β j + cos ⁡ γ k

Passo 2

Vamos decompor os momentos.

Para nossa sorte se você reparar, M 1 está totalmente sobre o eixo y e M 3 está totalmente sobre o eixo z , logo:

M 1 → = { 0 i + 500 j + 0 k }

E

M 3 → = { 0 i + 0 j - 45 0 k }

Agora para M 2 podemos ver na figura que ele só pertence ao plano x z , logo só tem componentes x e z , assim:

M 2 → = { - 600 ⋅ cos ⁡ 30 ° i + 0 j - 600 ⋅ s e n   30 °   k }

= { - 519,61 i + 0 j - 300 k }

Passo 3

Somando os momentos temos:

M R → = M 1 → + M 2 → + M 3 →

= 0 i + 500 j + 0 k + - 519,61 i + 0 j - 300 k + 0 i + 0 j - 450 k

= { 529,61 i + 500 j + 750 k }

Calculando o módulo:

M R → = - 529,61 2 + 500 2 + - 750 2

= 280486,75 + 250000 + 562500

= 1092986,75 = 1045,46

Passo 4

Agora vamos determinar os ângulos diretores como foi explicado no passo 1, então:

cos ⁡ α = - 529,61 1045,46

⇒ cos ⁡ α = - 0,5 0

⇒ α = 120 °

cos ⁡ β = 5 00 1045,46

⇒ cos ⁡ β = 0,478

⇒ β = 61,4 °

cos ⁡ γ = - 7 5 0 1045,46

⇒ cos ⁡ γ = - 0 , 717

⇒ γ = 1 35,8 °

Resposta

A intensidade do momento de binário resultante é:

M R = 1045,46   N ⋅ m

Os ângulos diretores são:

α = 120 °

β = 61,4 °

γ = 135,8 °

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