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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 89

As engrenagens estão sujeitas aos momentos de binário mostrados. Determine a intensidade do momento binário resultante e especifique seus ângulos diretores coordenados.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a intensidade do momento de binário resultante e especificar os ângulos com os eixos coordenados.

A chave para resolvermos esta questão é escrever os momentos na forma vetorial. Para o momento M 1 é fácil, visto que já está sobre o eixo z . Portanto,

M 1 = 50   k →   N ⋅ m

Agora, em relação ao momento M 2 , temos um pequeno problema por causa da visualização do vetor no desenho da questão. Mas não é nada do outro mundo! Se a gente esquece a existência das engrenagens (desenhando somente sobre os eixos coordenados), temos:

Podemos decompor o momento M 2 em duas componentes. Uma na direção positiva do eixo z ,

M z = M 2 sen ⁡ 20 ° = 6,8   N ⋅ m

E outra contina no plano O x y , dado por:

M x y = M 2 cos ⁡ 20 ° = 18,8   N ⋅ m

Passo 2

Agora temos que repetir o procedimento de decomposição, só que para o momento M X y . Para ele, podemos decompor na direção negativa do eixo x e do eixo y . Para isto, temos:

M x = - M x y sen ⁡ 30 ° = - 9,4   N ⋅ m

M y = - M x y cos ⁡ 30 ° = - 16,3   N ⋅ m

E portanto, o nosso vetor M 2 , na forma vetorial, é:

M 2 = M x i → + M y j → + M z k →   N ⋅ m

M 2 = - 9,4 i → - 16,3 j → + 6,8 k →   N ⋅ m

Passo 3

Agora que já temos ambos os momentos M 1 e M 2 na forma vetorial, podemos somar os dois. Desta forma, temos o seguinte momento resultante:

M r = M 1 + M 2

M r = - 9,4 i → - 16,3 j → + 5 6,8 k →   N ⋅ m

E a sua intensidade é:

M r = - 9,4 2 + - 16,3 2 + 56,8 2 = 59,8   N ⋅ m

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta calcularmos os ângulos formados com os eixos coordenados. Eles são os ângulos α , β e γ formados com a direção positiva dos eixos x , y e z , respectivamente.

Para calcularmos, temos:

α = arccos ⁡ M x M r = 99 °

β = arccos ⁡ M y M r = 106 °

γ = arccos ⁡ M z M r = 18,3 °

E assim finalizamos a questão!

Resposta

M r = 59,8   N ⋅ m

α = 99 °

β = 106 °

γ   = 18,3 °

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