5.4748. Determine the coordinates of the centroid of the shaded area.

Beleza, vamos fragmentar o problema em três figuras mais fáceis de resolver

Vamos começar com o retângulo .

E

Agora temos as coordenadas do centroide do retângulo.

E a área fica o seguinte

Agora vamos para o retângulo , e para facilitar os cálculos vamos fazer uma mudança de coordenadas, agora a origem é na ponta do retângulo

A equação dessas coordenas fica

Vamos lá.

E a área dessa figura é

Agora vamos colocar nas coordenadas originais

Agora podemos finalmente usar a equação

E essa equação vira

Vamos substituir os valores na equação

E agora vamos fazer para o eixo

Substituindo os valores

Então o ponto do centroide é

agora vamos para a figura mais complicada, a parábola. Mas a gente pode simplificar, olha só, a parábola pode ser uma subtração de imagens, imagina que a gente tem um retângulo, e subtrai um quarto de um circulo desse quadrado, ficamos com uma parábola.

Vamos trabalhar então. O nosso novo sistema de coordenadas é:

Mas vamos começar calculando a área. A área da parábola é a área do quadrado menos a área da fração de círculo. A área do quadrado é

E a área da fração de círculo é

Então

Agora vamos calcular os centroides, para o quadrado é

E para a fração de círculo

Então o centroide da parábola fica

Então

Então

E olha só, isso vai ser o mesmo para , porque tanto o quadrado quando a fração de círculo são simétricos.

Agora vamos passar isso para as coordenadas originais.

E

Só falta a gente calcular o centroide da figura toda agora

Substituindo os valores

Fazendo essa conta chegamos em

Agora vamos fazer para

Substituindo os valores

E ficamos com